arie schreef:daco schreef:klopt, maar je kan wel bewijzen dat het aantal getallen tussen 0 en 1 en tussen 1 en oneindig even groot is. Stel een getal tussen 0 en 1: x. Voor elke x tussen 1 en
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty)
is precies een getal
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{1}{x})
Dergelijke berekeningen zijn inderdaad gevaarlijk, immers:
voor elke x (0<x<1) is er precies 1 getal x+1 waarbij 1<(x+1)<2 en precies 1 getal x+2 waarbij 2<(x+2)<3, en precies 1 getal x+3, etc.
Er zijn dus oneindig keer zoveel getallen tussen tussen 1 en oneindig als tussen 0 en 1 ...
Welke redenatie is nu de juiste, of klopt er bij allebei iets niet?
Wat er (volgens mij) gebeurt is dat je de aantallen getallen gaat vergelijken, behandelen als variabele. Je zou dan zeggen: er zijn evenveel getallen tussen 1 en 2 als tussen 1 en
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty)
en daar ligt het gevaarlijke toch?
Wat je daarmee aantoont is
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty \cdot \infty = \infty)
En dan kom je toch bij graden van oneindigheid?
Zijn Aleph nummers ook toe te passen op
Hilberts hotel, dat het principe uitlegt van aftelbaar oneindig veel kamers? aftelbaar oneindig is dan transfiniet oneindig, niet absoluut oneindig? Bij
transfiniet getal en in een link bij je aangerade artikel,
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality,
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_1)
is het aantal reële getallen.
Respectievelijk:
wikipedia schreef:Als we de continuümhypothese aannemen, dan is
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?2^{\aleph_0} =\aleph_1)
het aantal reële getallen = aantal transcendente getallen = aantal complexe getallen = aantal punten op een rechte = aantal punten op een lijnstuk = aantal punten in het heelal.
En
wikipedia schreef:The continuum hypothesis says that
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?{\aleph}_1 = 2^{\aleph_0})
, i.e.
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?2^{\aleph_0})
is the smallest cardinal number bigger than
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?{\aleph_0})
, i.e. there is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers.
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_0)
aftelbaar oneindig, zoals natuurlijke getallen.
Bij het nederlandse artikel over een transfiniet getal stond ook een interpretatie voor
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_2)
: Het het aantal mogelijke krommen op een postzegel.
Voor
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_3)
zou geen interpretatie mogelijk zijn, maar als je zegt dat dat het aantal mogelijke krommen in een oneindig groot vlak zou zijn is dat dezelfde vergelijking als waar nu het probleem over gaat: het aantal getallen tussen bijv. 1 en 2, vergelijk met aantal krommen op een postzegel en het aantal getallen tussen 1 en
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty)
, vergelijk met het aantal krommen in een oneindig vlak. Voor het aantal krommen in een oneindig vlak en voor het aantal getallen tussen 0 en 1 is geen verzameling
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_{\alpha})
gedefinieerd, toch?
Maar hoe zit het dan met het aantal getallen tussen 0 en 1? dat is zijn niet alle reële getallen, dus minder dan
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\aleph_1)
. Maar dan kom je weer terug bij de vraag:
arie schreef:voor elke x (0<x<1) is er precies 1 getal x+1 waarbij 1<(x+1)<2 en precies 1 getal x+2 waarbij 2<(x+2)<3, en precies 1 getal x+3, etc.
Er zijn dus oneindig keer zoveel getallen tussen tussen 1 en oneindig als tussen 0 en 1 ...
Welke redenatie is nu de juiste, of klopt er bij allebei iets niet?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)