Analogie in de afstanden:
De nulde dimensie bestaat uit een punt. De afstand tussen twee punten in de tot nu toe bestaande ruimte is 0, (of dus
De eerste dimensie bestaat uit een rechte, genaamd x. De afstand tussen twee punten tot nu toe is
De tweede dimensie bestaat uit een vlak, gevormd door rechten x en y. De afstand tussen twee punten is
De derde dimensie bestaat uit een ruimte, gevormd door rechten x, y en z. De afstand tussen twee punten is
Via analogie zou de afstand tussen twee punten in een volgende dimensie bijvoorbeeld
Van punt tot .?.
Onlangs kwam een vriend van me op het idee om zoveel mogelijk punten op gelijke afstand van elkaar te plaatsen, en de afstand mag niet 0 zijn.
In de nulde dimensie is dat maar mogelijk voor 1 punt.
In de eerste voor 2 punten, die een lijnstuk vormen.
In de tweede voor 3 punten, die een gelijkzijdige driehoek vormen.
In de derde voor 4 punten, gerangschikt in een tetraeder.
Dit doet denken dat in een vierde dimensie het mogelijk zou zijn om 5 punten op gelijke afstand te plaatsen.
Daartoe zetten we enkele eigenschappen van de bekomen objecten in een tabel:
De laatste rij stelden we op via analogie met de driehoek van Pascal, want die zagen we er al snel in verschijnen.
De Formule van Euler zegt: punten-lijnstukken+zijvlakken=2, voor elk ruimtelichaam. Voor de andere soorten objecten zie je dat dat niet van toepassing is. Wel vonden we dat de alternerende som van de eigenschappen steeds 1 is:
Hetgeen gemakkelijk kan bewezen worden via de driehoek van pascal.
Inhoud van een kubus
Een minder bijzondere eigenschap, maar toch het vermelden waard:
De inhoud van een kubus in functie van zijn zijde z is
In functie van een diagonaal z in een zijvlak:
En je raadt het nooit, in functie van zijn ruimtediagonaal:
En in functie van .?. :
Ik dacht ook al om de vierde dimensie voor te stellen als de gekende 3D-ruimte, maar waarin elk punt bestaat uit een rechte, genaamd u, en dus elk 4D-punt bepaald is door x, y, z en u. Moeilijk voor te stellen, maar kan misschien een verklaring geven voor
Waarschijnlijk hebben jullie wel aanvullingen (maar waar ik het liever niet over wil hebben is de vierde dimensie van Tijd, daar heb ik al wat over gelezen, maar die ziet er helemaal niet wiskundig uit
en is zo abstract als het maar kan)
)
