Kromtestraal ellips
Kromtestraal ellips
Ik loop vast bij de berekening van de kromtestraal van de ellips, gegeven door de parametervoorstelling:
x = a cos t
y = b sin t
Voorlopige uitwerking:
De kromtestraal r wordt gegeven door:
r = ((1+y'²)^3/2) / y''
y' en y'' heb ik reeds berekend:
y' = -a/b *tan t
y'' = -1 / (b*sin t *cos²t)
berekening van (1+y'²)
y'² = (a²*tan²t)/b²
=> 1+y'² =1+((a²*tan²t)/b²) = (b²+a²*tan²t)/b²
=> (1+y'²)^3/2 = ((b²+a²*tan²t)^3/2 ) / b³
Ik zou niet direct weten hoe verder te komen met de uitwerking van de teller. Iemand hulp?
x = a cos t
y = b sin t
Voorlopige uitwerking:
De kromtestraal r wordt gegeven door:
r = ((1+y'²)^3/2) / y''
y' en y'' heb ik reeds berekend:
y' = -a/b *tan t
y'' = -1 / (b*sin t *cos²t)
berekening van (1+y'²)
y'² = (a²*tan²t)/b²
=> 1+y'² =1+((a²*tan²t)/b²) = (b²+a²*tan²t)/b²
=> (1+y'²)^3/2 = ((b²+a²*tan²t)^3/2 ) / b³
Ik zou niet direct weten hoe verder te komen met de uitwerking van de teller. Iemand hulp?
Re: Kromtestraal ellips
Wat bedoel je hier? Staat b*tan(t) in de noemer? Zo ja, dan heb je dat niet goed genoteerd ...nielzs schreef: y' = -a/b *tan t
Bedenk verder dat y'' niet betekent:
maar:
Re: Kromtestraal ellips
Ik zie dat er al een fout in de eerste afgeleide is geslopen. Mijn excuses hiervoor. De uitdrukking voor de eerste afgeleide zou de volgende moeten zijn:
y' = - b /(a*tan t)
Wat bedoel je precies met de laatste opmerking? Voor de berekening van y'' ben ik uitgegaan van de uitdrukking:
y'' = (dy'/dt) / (dx/dt)
Voor dy'/dt bekom ik:
b/(a*sin²t)
aangezien dx/dt = - a.sin t geldt nu voor y'':
y'' = -b/(a²*sin²t)
Probleem blijft nu de berekening van de term (1 + y'²)^3/2
y' = - b /(a*tan t)
Wat bedoel je precies met de laatste opmerking? Voor de berekening van y'' ben ik uitgegaan van de uitdrukking:
y'' = (dy'/dt) / (dx/dt)
Voor dy'/dt bekom ik:
b/(a*sin²t)
aangezien dx/dt = - a.sin t geldt nu voor y'':
y'' = -b/(a²*sin²t)
Probleem blijft nu de berekening van de term (1 + y'²)^3/2
Re: Kromtestraal ellips
y' is nu goed!
is niet goed!nielzs schreef: y'' = (dy'/dt) / (dx/dt)
Re: Kromtestraal ellips
Dit vind ik een beetje vreemd. Volgens de door u vermelde formule zou dit betekenen dat ik moet afleiden naar x, terwijl y wordt weergegeven in functie van t. In mijn cursus vindt ik volgende formule terug bij de bepaling van de tweede afgeleide bij parameterkrommen:
d²y/dt² = (dy'/dt)/(dx/dt)
Klopt deze formule dan niet?
d²y/dt² = (dy'/dt)/(dx/dt)
Klopt deze formule dan niet?
Re: Kromtestraal ellips
Deze formule klopt (m'n eerste reactie klopt niet), mits y' een functie van t is.nielzs schreef: d²y/dt² = (dy'/dt)/(dx/dt)
Klopt deze formule dan niet?
Re: Kromtestraal ellips
Oké. Kunt u mij verder helpen met de uitwerking van de term (1+y'²)^3/2 ? Dit is immers mijn grootste probleem.
Re: Kromtestraal ellips
nielzs schreef:y'' = -b/(a²*sin²t)
Probleem blijft nu de berekening van de term (1 + y'²)^3/2
Wat is je probleem met: (1 + y'²)^3/2
Vul eerst eens in ...
Re: Kromtestraal ellips
Voor de uitwerking van 1+y'² bekom ik:
1+(-b/(a*tan t))² = 1+ (b²/(a²*tan²t)) = (a²*tan²t+b²)/(a²*tan²t)
=> (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)
Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
1+(-b/(a*tan t))² = 1+ (b²/(a²*tan²t)) = (a²*tan²t+b²)/(a²*tan²t)
=> (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)
Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
Re: Kromtestraal ellips
Waar wil je naar toe werken? Nu kan je t=pi/2 niet substitueren ...nielzs schreef: => (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)
Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
Re: Kromtestraal ellips
Aangezien ik de kromtestraal wil berekenen, en vermits y'' wordt gegeven onder de vorm van:
y'' = - b /(a².sint²t)
zou het handig zijn indien voor (1+y'²)^3/2 ook een uitdrukking verschijnt met in de noemer iets van de vorm a²*sin²t
y'' = - b /(a².sint²t)
zou het handig zijn indien voor (1+y'²)^3/2 ook een uitdrukking verschijnt met in de noemer iets van de vorm a²*sin²t
SafeX schreef:Waar wil je naar toe werken? Nu kan je t=pi/2 niet substitueren ...nielzs schreef: => (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)
Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
Re: Kromtestraal ellips
Werk de tan weg door teller en noemer te vermenigvuldigen met ...nielzs schreef: 1+(-b/(a*tan t))² = 1+ (b²/(a²*tan²t)) = (a²*tan²t+b²)/(a²*tan²t)
Probeer daarna verder te gaan met r=...
Re: Kromtestraal ellips
Ik ben ondertussen al een stuk verder geraakt. Ik heb verder gewerkt door in teller en noemer tan²t te vervangen door sin²t/cos²t. Na enkele tussenstappen bekom ik als uitdrukking voor de kromtestraal:
r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b
Is dit correct?
r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b
Is dit correct?
Re: Kromtestraal ellips
Je moet krijgen, ga dat na:nielzs schreef:Ik ben ondertussen al een stuk verder geraakt. Ik heb verder gewerkt door in teller en noemer tan²t te vervangen door sin²t/cos²t. Na enkele tussenstappen bekom ik als uitdrukking voor de kromtestraal:
r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b
Is dit correct?
r = (a².sin²t + b².cos²t)^3/2 /(a b)
Ik neem aan dat je de regelmaat in de formule ziet, ga (bv) na wat je krijgt bij t=0 en t=pi/2 ...
Neem ook a=b
Re: Kromtestraal ellips
Dit antwoord heb ik nu inderdaad bekomen. Heel erg bedankt voor je hulp, SafeX. Het heeft me zeker geholpen in de voorbereiding voor het herexamen wiskunde die ik in augustus zal afleggen.