Hi, nieuw vak, nieuw probleem. Voortbrengers van een groep. Ofwel in het engels: generator.
Ik begin het met simpele groepen redelijk te snappen, maar nu gaat het bijvoorbeeld over dingen met matrices.
Bijvoorbeeld de vraag:
Gegeven is de ondergroep G = { met in en in } van , de inverteerbare 2x2-matrices met coëfficienten modulo 13.
Zij N = { met in } de ondergroep van G voortgebracht door .
Leg uit waarom een ondergroep H van G met uit 1 of 3 elementen bestaat.
Maar wat betekent nou precies dat N de ondergroep van G is voortgebracht door die matrix? Hoe moet ik dat zien? En wat heeft H doorsnede N daarmee te maken?
Ik hoor graag hoe het werkt... hopelijk kan iemand me iets meer duidelijk maken.
Groetjes Ilona
Voortbrenger/generator van een groep
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Ga eerst eens na wat de elementen van deze groep zijn ...
Opm: Het is duidelijk dat met a een restklasse (mod 13) wordt bedoeld, het lijkt me verder niet nodig om dit met een 'bovenstreep' aan te geven
Opm: Het is duidelijk dat met a een restklasse (mod 13) wordt bedoeld, het lijkt me verder niet nodig om dit met een 'bovenstreep' aan te geven
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Hi
Ik zie nu dat ik een fout heb gemaakt in dit stuk:
en
Heel stom, want dan schiet ik niets op met deze vraag hier. Maar, ik heb even gepuzzeld en dit is mijn conclusie (ik heb alle bovenstreepjes weggelaten, teveel typewerk en inderdaad, uit modulo is het duidelijk):
Ik heb bedacht dat als a=1, dan moet b=0 want anders zou de doorsnede met N gelijk zijn aan N. Dus je gaat uit van b=0. Dus
is een ondergroep (en gelijk de identiteit)
Als a=3 dan moet het product ook er in zitten, want anders is het geen ondergroep en het product is de matrix . Maar het product van en dus moeten ze er alle 3 in zitten en heeft de ondergroep dus 3 elementen. Er zijn dus 2 van deze ondergroepen.
Klopt dit?
Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.
Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.
Ik zie nu dat ik een fout heb gemaakt in dit stuk:
enIlona schreef:
Zij N = { met in }
Het moet zijn: N = { met in }Ilona schreef: Leg uit waarom een ondergroep H van G met uit 1 of 3 elementen bestaat.[/i]
en
Heel stom, want dan schiet ik niets op met deze vraag hier. Maar, ik heb even gepuzzeld en dit is mijn conclusie (ik heb alle bovenstreepjes weggelaten, teveel typewerk en inderdaad, uit modulo is het duidelijk):
Ik heb bedacht dat als a=1, dan moet b=0 want anders zou de doorsnede met N gelijk zijn aan N. Dus je gaat uit van b=0. Dus
is een ondergroep (en gelijk de identiteit)
Als a=3 dan moet het product ook er in zitten, want anders is het geen ondergroep en het product is de matrix . Maar het product van en dus moeten ze er alle 3 in zitten en heeft de ondergroep dus 3 elementen. Er zijn dus 2 van deze ondergroepen.
Klopt dit?
Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.
Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Het eerste klopt ...
Bedenk dat een ondergroep altijd e moet bevatten! Verder is een ondergroep een groep met dezelfde operatie
Blijft de vraag welke elementen bevat G ...
Wat bedoel je met N ...Ilona schreef:Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.
Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.
Bedenk dat een ondergroep altijd e moet bevatten! Verder is een ondergroep een groep met dezelfde operatie
Blijft de vraag welke elementen bevat G ...
Re: Voortbrenger/generator van een groep
G = { met in en in } van , de inverteerbare 2x2-matrices met coëfficienten modulo 13.
N = { met in }
vraag b) is dus alle H (ondergroepen van G) bepalen waarvoor geldt dat .
Ik kwam uit op 14 ondergroepen:
{e} en
voor alle b in modulo 13. Die bevatten allemaal e, hun inverse en zijn gesloten onder dezelfde operatie.
Vraag c) is: Bepaal nu alle ondergroepen van G. (Hint: als H een ondergroep is, wat kan dan zijn?)
Dus alle ondergroepen van G zijn sowieso die genoemd bij vraag b)
daarnaast is N een ondergroep van G en daarnaast is G een ondergroep van zichzelf. Dat lijken me dan alle mogelijke ondergroepen.
N = { met in }
vraag b) is dus alle H (ondergroepen van G) bepalen waarvoor geldt dat .
Ik kwam uit op 14 ondergroepen:
{e} en
voor alle b in modulo 13. Die bevatten allemaal e, hun inverse en zijn gesloten onder dezelfde operatie.
Vraag c) is: Bepaal nu alle ondergroepen van G. (Hint: als H een ondergroep is, wat kan dan zijn?)
Dus alle ondergroepen van G zijn sowieso die genoemd bij vraag b)
daarnaast is N een ondergroep van G en daarnaast is G een ondergroep van zichzelf. Dat lijken me dan alle mogelijke ondergroepen.