Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 24 feb 2015, 13:27

Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door mark1990 » 28 jan 2016, 22:12

Ik zit met een probleem waar ik niet helemaal uitkom. Allereerst de Nederlands vertaling van Isotropic Points, klopt het dat dat Isotrope punten zijn?

Nu de vraag:
Ga er vanuit dat een systeem zich op een isotroop punt bevind: De kolommen van de Jacobian zijn orthogonaal en van gelijke grootte. De bijbehorende Jacobian geschreven kan worden op de volgende manier. Bepaal de ontbrekende elementen.



Hoe bepaal ik hier de de ontbrekende elementen? Ik snap hoe ik in een 2x2 matrix de isotope punten kan berekenen, namelijk en . Hoe werkt dit bij 3x3 matrices? Als ik de formules pak van een 2x2 matrix en deze op de zelfde manier toepas kom ik er niet uit.. Iemand die mij kan helpen?

Mark

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3050
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door arie » 28 jan 2016, 23:54

Je hebt deze Jacobian:



met daarbij deze gegevens:
de kolommen van de Jacobian zijn orthogonaal en van gelijke grootte.

Orthogonale kolommen houdt in dat de kolommen onderling loodrecht op elkaar staan = dat hun inproducten nul zijn:







Uit cf = 0 volgt dat c = 0 OF f = 0
[1] Stel c = 0:
dan moet ook bd = 0 zijn
Maar d mag NIET nul zijn (anders wordt de tweede kolom een nulvector), dus moet b nul zijn.
Hoe ziet je Jacobian er nu uit?
Kan je de eerste en derde kolomvector nu verwerken (tot loodrechte vectoren met gelijke lengte) ?
Pas tenslotte de lengte van de tweede vector daarop aan.
[2] Stel f = 0:
Analoog aan [1], maar nu mag om te beginnen e niet nul zijn.

Kom je hiermee verder?

mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 24 feb 2015, 13:27

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door mark1990 » 29 jan 2016, 11:02

Bedankt arie voor je uitleg.

Kom er nog niet helemaal mee verder.. De stappen die je noemt snap ik nu, de J matrix wordt dan:


Waarna je kunt zeggen dat (via de inproducten) en dat (via de lengte van de vectoren). Maar dan heb je 3 onbekenden in twee vergelijkingen?
Verder kun je zeggen dat , maar daar heb je nu ook niet zoveel aan dacht ik? Wat mis ik?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3050
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door arie » 29 jan 2016, 12:02

Je hebt dan nog 1 vrijheidsgraad over.

Stel


dan is



ofwel



waardoor wegens gelijke lengte van de kolomvectoren:



dus



en




Voor d geldt:



en daarmee hebben we alle onbekenden uitgedrukt in lambda.
Elke keuze van lambda geeft een oplossing.

Maar ik vermoed nu dat je een unieke oplossing verwacht.
Heb je mogelijk een andere of uitgebreidere definitie van isotrope punten?
Of zijn er meer gegevens bekend?

mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 24 feb 2015, 13:27

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door mark1990 » 29 jan 2016, 12:23

arie,

Ik denk dat dit goed is. Ik dacht dat er misschien een regel was die ik gemist had dat er wel een unieke oplossing uitkwam. Ik vermoed dat de opgave niet perse is om een unieke oplossing te bedenken, en dat dit wel het antwoord is.
Helaas heb ik geen oplossing of andere informatie. De vraag was letterlijk (in het Engels):

General mechanisms sometimes have certain configurations, called "isotropic points," where the columns of the Jacobian become orthogonal and of equal magnitude. If a manipulator is at an isotropic point and its corresponding Jacobian can be written in the following form with missing elements, please determine the missing elements.

Waarbij hetgeen dat jij definieert volgens mij een oplossing is. Bedankt voor je hulp!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3050
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door arie » 29 jan 2016, 13:20

OK.
Vergeet niet de oplossingen voor het geval f=0 uit te werken.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Bericht door wnvl » 29 jan 2016, 23:16

Ik veronderstel dat het probleem uit de robotica komt. De Jacobiaan is een tensor voor de overgang van het ene coordinatenstelsel naar het andere. De relevantie en het belang van die isotrope punten is mij wel niet duidelijk. Mocht iemand enige verduidelijking hebben...

Plaats reactie