Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

sebuts · Bericht door **sebuts** » 20 jan 2017, 11:53

Gevraagd: $\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 - 2x})$ (Adams hfst. 1.3, opg 29).

Een eerste, foutieve, benadering zou kunnen zijn:

Aangezien de $x^2$ termen leidend zijn ten opzicht van de $2x$ termen, blijft simpelweg

$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2} - \sqrt{x^2})$

over, wat 0 is. Om wat op te leuken kunnen we nog wat herschrijven, maar levert natuurlijk verder niks op:

$\lim_{x \to -\infty}(|x| - |x|) =$
$\lim_{x \to -\infty}(-x - -x) =$
$\lim_{x \to -\infty}(-x + x) = 0$

Een andere aanpak zou kunnen zijn:

$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 - 2x}) =$
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x(x + 2)} - \sqrt{x(x - 2)}) =$
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt x \sqrt{(x + 2)} - \sqrt x \sqrt{(x - 2)}) =$
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt x (\sqrt{(x + 2)} - \sqrt{(x - 2)})) ....$

Aangezien $x \to -\infty$ leidt dit helemaal nergens naar...

Een wel werkende aanpak:

Kwadraat af te splitsen onder de wortel tekens, herschrijven en done:

$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 - 2x}) =$
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{(x + 1)^2 - 1} - \sqrt{(x - 1)^2 - 1}) =$

Levert:

$\lim_{x \to -\infty}(|x + 1| - |x - 1|) = -2$

Welnu: waarom kom ik niet verder met de eerdere strategieen? Ik vind de stap naar het kwadraatafsplitsen niet triviaal en hoe kan ik in zn algemeenheid verifieren dat een bepaalde aanpak niet werkt, zonder naar de antwoorden te kijken?
Het is 1 ding dat een aanpak faalt, maar ik heb geen enkel inzicht in hoe ik mezelf zou moeten corrigeren als ik op een pad zoals bij uitwerking 1 ben...

Bericht door **SafeX** » 20 jan 2017, 17:02

sebuts schreef: Welnu: waarom kom ik niet verder met de eerdere strategieen? Ik vind de stap naar het kwadraatafsplitsen niet triviaal en hoe kan ik in zn algemeenheid verifieren dat een bepaalde aanpak niet werkt, zonder naar de antwoorden te kijken?

Allereerst: globaal krijg je oneindig - oneindig, dus geen uitsluitsel
In je eerste methode verwaarloos je een term in beide wortels die naar oneindig gaat ...

De beste methode is: wortels wegwerken door kwadraten te gebruiken, denk daarbij aan (a-b)(a+b), natuurlijk moet je ook weer delen door a+b. Merk op dat die noemer naar oneindig gaat, maar let wel op de teller. Probeer dat eens.

manus · Bericht door **manus** » 20 jan 2017, 20:55

het antwoord is nul: https://www.desmos.com/calculator/fhh7wch3cx

sebuts · Bericht door **sebuts** » 20 jan 2017, 21:18

@Safex met behulp van de geconjugeerde heb ik het ook uitgewerkt idd.

Maar ik behandel dus oneindig als getal. Op het moment dat ik 2 termen naar oneindig heb, zou er dus al een belletje moeten rinkelen aangezien ik daar verder niet zoveel mee kan?

@manus, het antwoord is -2

Bericht door **SafeX** » 20 jan 2017, 22:12

sebuts schreef:@Safex met behulp van de geconjugeerde heb ik het ook uitgewerkt idd.

Kan je dat laten zien?

sebuts · Bericht door **sebuts** » 21 jan 2017, 08:57

Ja hoor,
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x}-\sqrt{x^2-2x})$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2 + 2x - (x^2 - 2x)}{(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2x})}$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{4x}{(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2x})}$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{4x}{(x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x\sqrt{1 - \frac{2}{x}})}$

Aangezien $\frac{2}{x}$ naar 0 gaat, is deze wel verwaarloosbaar, dus:

$\lim_{x \to -\infty}\frac{4x}{(-x\sqrt{1} -x\sqrt{1})}$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{4x}{-x(\sqrt{1} + \sqrt{1})} = -2$

In je eerste methode verwaarloos je een term in beide wortels die naar oneindig gaat ...

Ok, dus dat is sowieso al fout. Als ik dat tegenkom, moet ik een andere strategie zoeken? Het gaat me er vooral om waarom de andere manieren niet werken, zodat ik m'n werk beter kan maken...

Bericht door **SafeX** » 21 jan 2017, 10:41

sebuts schreef: $\lim_{x \to -\infty}\frac{4x}{(x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x\sqrt{1 - \frac{2}{x}})}$

Hier moet je direct -x buiten de wortel halen, omdat alleen naar x<0 gekeken wordt.

Naderhand maak je dat weer (zonder toelichting) in orde.

sebuts · Bericht door **sebuts** » 21 jan 2017, 13:43

In je eerste methode verwaarloos je een term in beide wortels die naar oneindig gaat ...
Ok, dus dat is sowieso al fout. Als ik dat tegenkom, moet ik een andere strategie zoeken? Het gaat me er vooral om waarom de andere manieren niet werken, zodat ik m'n werk beter kan maken...

Het gaat me vooral om strategien om dit soort dingen goed op te lossen (zie bovenstaand).

Bericht door **SafeX** » 21 jan 2017, 14:19

sebuts schreef:Het gaat me vooral om strategien om dit soort dingen goed op te lossen (zie bovenstaand).

Die heb je beide al gezien en gebruikt. Verder gezond verstand!

Bericht door **wnvl** » 22 jan 2017, 02:36

Misscien helpt het om meer inzicht te verkrijgen als je voor beide wortels een Taylor reeks opstelt. Dn zie je beter wat er gebeurt...

Wiskundeforum

Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?

Re: Waarom werkt een bepaalde oplossingsrichting niet?