Afgeleide goniometrische functie

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 04 mar 2017, 15:21

Hallo,

Ik ben bezig met het bepalen van de afgeleide van een aantal goniometrische functies.
Sommige sommen kom ik wel uit,maar bij een aantal loop ik vast, onder andere de volgende;

f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)

ik maak gebruik van de formule: y= u/v => y'= v*u' - u*v' / v^2

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


vanaf het laatste punt kom ik verder, wie kan me daar bij helpen ?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1799
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door arno » 04 mar 2017, 16:22

Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 04 mar 2017, 17:11

arno schreef:Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?

Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1799
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door arno » 04 mar 2017, 17:49

Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?
De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 04 mar 2017, 18:27

arno schreef:
Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?
De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?

(a-b)^2 = (a+b)(a-b)


1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1+tan(x) * 1-tan(x)

Is nu de volgende stap cos^2(x) uit de teller vermenigvuldigen ?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1799
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door arno » 04 mar 2017, 18:58

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)
Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 04 mar 2017, 19:11

arno schreef:
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)
Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1799
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door arno » 04 mar 2017, 20:02

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)
Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 05 mar 2017, 08:35

arno schreef:
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)
Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?

=> 1-tan(x)*2 - (2tan(x)*(-1) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2-tan(x) + 2 tan(x) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2 /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

Kunnen we nog iets aan de noemer wijzigen ?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1799
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door arno » 05 mar 2017, 11:59

Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 05 mar 2017, 12:06

arno schreef:Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.

Ik zie dat ik ook een kwadraat te veel had in de noemer bij cos(x)

Maar hoe raak jij die cos^2(x) kwijt in de noemer ?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14218
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door SafeX » 05 mar 2017, 12:17

Westerwolde schreef: f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)
Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.
f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)
Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 05 mar 2017, 19:39

SafeX schreef:
Westerwolde schreef: f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)
Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.
f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)
Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


Ja oke duidelijk wat je hier boven beschrijft.

Als ik het goed begrijp kun je de noemer nog verder uit werken?
Het product van tan en cos is toch de sinus ?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14218
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door SafeX » 05 mar 2017, 21:32

Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?
Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?

Westerwolde
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 363
Lid geworden op: 11 mar 2015, 13:26

Re: Afgeleide goniometrische functie

Bericht door Westerwolde » 06 mar 2017, 08:20

SafeX schreef:
Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?
Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?

(1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

=> tan(x) = [sin(x)] / [cos(x)]

=> = [cos(x)] * [sin(x)] / [cos(x)] = [1-sin(x)]^2

=> [2] / [1-sin(x)]^2


Hm in het antwoordenboek staat : [2] / [1-sin(2x)]

Plaats reactie