Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!
vermenigvuldigen tot in oneindig
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Kijk eerst naar het deelproduct voor n = 2 t/m k:
ontbind de teller en noemer:
en dit kunnen we ook schrijven als:
nu is de teller van de eerste breuk:
en de noemer van de eerste breuk:
en wordt de eerste breuk als geheel:
De tweede breuk is iets lastiger: daar zitten we met n^2 - n + 1 in de noemer, terwijl we net als in de teller n^2 + n + 1 zouden willen.
We kunnen dat minteken niet zomaar in plus veranderen.
Maar kijk eens wat er gebeurt als we dat wel zouden doen, en het laatste product niet n = k, maar n = (k-1) zouden nemen:
de laatste factor wordt dan:
Dit is precies de laatste factor van het oorspronkelijke product.
Natuurlijk geldt ditzelfde voor elke afzonderlijke factor.
Met andere woorden: we kunnen het hele product 1 eenheid opschuiven:
en voor de teller van de tweede breuk hebben we:
We houden voor de tweede breuk dus over:
Als we nu bovenstaande resultaten combineren, dan vinden we:
Nu alleen nog het product voor n van 2 naar oneindig:
Lukt het je om deze limiet te bepalen?
ontbind de teller en noemer:
en dit kunnen we ook schrijven als:
nu is de teller van de eerste breuk:
en de noemer van de eerste breuk:
en wordt de eerste breuk als geheel:
De tweede breuk is iets lastiger: daar zitten we met n^2 - n + 1 in de noemer, terwijl we net als in de teller n^2 + n + 1 zouden willen.
We kunnen dat minteken niet zomaar in plus veranderen.
Maar kijk eens wat er gebeurt als we dat wel zouden doen, en het laatste product niet n = k, maar n = (k-1) zouden nemen:
de laatste factor wordt dan:
Dit is precies de laatste factor van het oorspronkelijke product.
Natuurlijk geldt ditzelfde voor elke afzonderlijke factor.
Met andere woorden: we kunnen het hele product 1 eenheid opschuiven:
en voor de teller van de tweede breuk hebben we:
We houden voor de tweede breuk dus over:
Als we nu bovenstaande resultaten combineren, dan vinden we:
Nu alleen nog het product voor n van 2 naar oneindig:
Lukt het je om deze limiet te bepalen?
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Van deze limiet lukt het mij wel! Bedankt voor de oplossing, nu alleen nog proberen te begrijpen!
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Het is niet de bedoeling je deze opgave uitgewerkt aan te geven.3,1415 schreef:Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!
Hoever ben je in wiskundig opzicht.
Hint: werk de factoren (n-1)/(n+1) en (n^2+n+1)/(n^2-n+1) apart uit voor n=2 t/m 9 en kijk wat er gebeurt ...
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Sorry daarvoor dan.
Bedankt voor de tip!
Bedankt voor de tip!
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Wil je echt begrijpen wat er gebeurt in de formules?
Een verontschuldiging is niet nodig. Jij stelt je vraag en het is aan ons hoe te reageren.
Een verontschuldiging is niet nodig. Jij stelt je vraag en het is aan ons hoe te reageren.
Re: vermenigvuldigen tot in oneindig
Ik snap wat er gebeurt in de formules na zelf alles eens te hebben uitgeschreven. Toch bedankt voor de aangeboden hulp!