Koorde

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 102
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Koorde

Bericht door Steinbach » 18 feb 2018, 01:28

Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).

Zie bovenstaande figuur.

Als alpha 0 graden is dan is de sin ( alpha ) = koorde ook nul.
Als alpha 90 graden is dan is sin ( alpha ) = 1 en gaat de koorde door het middelpunt en = 1.
Maar ik heb geen idee hoe ik die stelling kan bewijzen in zijn algemeenheid ?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1803
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Koorde

Bericht door arno » 18 feb 2018, 12:53

Steinbach schreef:Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).
Nee, dat klopt niet. Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen. Nu geldt dat BC = 2d·sin ½·α, wat je kunt zien door uit A de hoogtelijn op BC te trekken.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 102
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Bericht door Steinbach » 18 feb 2018, 20:43

Beste Arno de oorspronkelijke te bewijzen stelling klopt toch wel volgens mij.
Uw vorige post denk ik dat niet juist is.

Ik heb mijn oorspronkelijke tekening wat uitgebreid om zodoende het gevraagde te
bewijzen. Zie onderstaande link.

https://imgur.com/a/0oopJ

De driehoeken MSC en MSB zijn congruent. ( ZZR)
Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha.
Hoogtelijn uit Middelpunt ( M ) verdeeld deze hoek in 2.

in driehoek MSC : sin(alpha ) = SC/R
in driehoek MSB : sin(alpha) = SB/R
CB = SC + SB
CB = R.sin(alpha) + R.sin(alpha)
CB = 2R.sin(alpha)

Uit het gegeven 2R = Diameter(D) = 1

CB = sin(alpha)
dus sin(alpha) = CB

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3051
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Koorde

Bericht door arie » 18 feb 2018, 23:23

arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.

@Steinbach:
Je bewijs klopt en is mooi.

PS:
Je gebruikt: "Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha."
Dit is waarschijnlijk een stelling die je gehad hebt (in je les of boek).
Zo niet, dan zou je dat formeel ook nog moeten bewijzen.

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 102
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Bericht door Steinbach » 18 feb 2018, 23:36

Dag arie ,

Bedankt voor de verificatie.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1803
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Koorde

Bericht door arno » 19 feb 2018, 19:05

arie schreef:
arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.
Je hebt gelijk. Ik zie dat ik me inderdaad heb vergist.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14223
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Koorde

Bericht door SafeX » 22 feb 2018, 21:46

Ben je bekend met de sin-regel in een driehoek? Zo ja, dan is het bewijs één regel

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 102
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Bericht door Steinbach » 23 feb 2018, 15:47

Met sinus-regel

sin(alpha)/SB = sin 90°/R
sin ( alpha) = SB/R
sin(alpha) = CB/2R

2R = D = 1

sin(alpha) = CB

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14223
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Koorde

Bericht door SafeX » 23 feb 2018, 19:39

Mooi!

Wel eerst: drh ABC is een drh met gegeven omgeschreven cirkel R=1.
Dus geldt: ...

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 102
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Bericht door Steinbach » 25 feb 2018, 00:05

Dank je SafeX voor de verificatie.

Plaats reactie