Koorde
Koorde
Toon de volgende eigenschap aan.
https://imgur.com/a/aXz1p
Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).
Zie bovenstaande figuur.
Als alpha 0 graden is dan is de sin ( alpha ) = koorde ook nul.
Als alpha 90 graden is dan is sin ( alpha ) = 1 en gaat de koorde door het middelpunt en = 1.
Maar ik heb geen idee hoe ik die stelling kan bewijzen in zijn algemeenheid ?
https://imgur.com/a/aXz1p
Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).
Zie bovenstaande figuur.
Als alpha 0 graden is dan is de sin ( alpha ) = koorde ook nul.
Als alpha 90 graden is dan is sin ( alpha ) = 1 en gaat de koorde door het middelpunt en = 1.
Maar ik heb geen idee hoe ik die stelling kan bewijzen in zijn algemeenheid ?
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Koorde
Nee, dat klopt niet. Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen. Nu geldt dat BC = 2d·sin ½·α, wat je kunt zien door uit A de hoogtelijn op BC te trekken.Steinbach schreef:Toon de volgende eigenschap aan.
https://imgur.com/a/aXz1p
Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Koorde
Beste Arno de oorspronkelijke te bewijzen stelling klopt toch wel volgens mij.
Uw vorige post denk ik dat niet juist is.
Ik heb mijn oorspronkelijke tekening wat uitgebreid om zodoende het gevraagde te
bewijzen. Zie onderstaande link.
https://imgur.com/a/0oopJ
De driehoeken MSC en MSB zijn congruent. ( ZZR)
Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha.
Hoogtelijn uit Middelpunt ( M ) verdeeld deze hoek in 2.
in driehoek MSC : sin(alpha ) = SC/R
in driehoek MSB : sin(alpha) = SB/R
CB = SC + SB
CB = R.sin(alpha) + R.sin(alpha)
CB = 2R.sin(alpha)
Uit het gegeven 2R = Diameter(D) = 1
CB = sin(alpha)
dus sin(alpha) = CB
Uw vorige post denk ik dat niet juist is.
Ik heb mijn oorspronkelijke tekening wat uitgebreid om zodoende het gevraagde te
bewijzen. Zie onderstaande link.
https://imgur.com/a/0oopJ
De driehoeken MSC en MSB zijn congruent. ( ZZR)
Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha.
Hoogtelijn uit Middelpunt ( M ) verdeeld deze hoek in 2.
in driehoek MSC : sin(alpha ) = SC/R
in driehoek MSB : sin(alpha) = SB/R
CB = SC + SB
CB = R.sin(alpha) + R.sin(alpha)
CB = 2R.sin(alpha)
Uit het gegeven 2R = Diameter(D) = 1
CB = sin(alpha)
dus sin(alpha) = CB
Re: Koorde
AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
@Steinbach:
Je bewijs klopt en is mooi.
PS:
Je gebruikt: "Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha."
Dit is waarschijnlijk een stelling die je gehad hebt (in je les of boek).
Zo niet, dan zou je dat formeel ook nog moeten bewijzen.
Re: Koorde
Dag arie ,
Bedankt voor de verificatie.
Bedankt voor de verificatie.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Koorde
Je hebt gelijk. Ik zie dat ik me inderdaad heb vergist.arie schreef:AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Koorde
Ben je bekend met de sin-regel in een driehoek? Zo ja, dan is het bewijs één regel
Re: Koorde
Met sinus-regel
sin(alpha)/SB = sin 90°/R
sin ( alpha) = SB/R
sin(alpha) = CB/2R
2R = D = 1
sin(alpha) = CB
sin(alpha)/SB = sin 90°/R
sin ( alpha) = SB/R
sin(alpha) = CB/2R
2R = D = 1
sin(alpha) = CB
Re: Koorde
Mooi!
Wel eerst: drh ABC is een drh met gegeven omgeschreven cirkel R=1.
Dus geldt: ...
Wel eerst: drh ABC is een drh met gegeven omgeschreven cirkel R=1.
Dus geldt: ...
Re: Koorde
Dank je SafeX voor de verificatie.