Vergelijkingen en Polynomen
Vergelijkingen en Polynomen
Goede morgen. Ik hoop dat ik dit post op het juiste forum . Ik heb één korte vraag en één lange vraag.
√2x + 1 ≤ |x + 1| (https://i.imgur.com/GMK2zSt.png)
Bij deze vergelijking kom ik uiteindelijk uit op x ≥ 0 Ook als ik het op m'n GR check lijkt dat te klopen. Maar het antwoorden boek zegt dat het antwoord x ≥ -1/2 is. Dus wat doe ik verkeerd?
En mijn lange vraag is, hoe werken polynomen nou precies? Zover begrijp ik dat https://i.imgur.com/xAZzxyn.png dit uiteindelijk naar https://i.imgur.com/5DjMq7o.png dat moet gaan. Het heeft een relatie met n - 1. Maar wat betekent zo een lage "n" ook alweer. En hoe precies kom ik aan g(x) (dat dus te maken heeft met n-1). https://i.imgur.com/7xjS2ug.png Dit is een voorbeeld uit het boek. En dan hebben ze gegeven dat a = 1. En dit is dan het antwoord https://i.imgur.com/zTbjfvB.png . Ik begrijp de (x - 1) Maar de g(x) en de + 1 begrijp ik niet.
√2x + 1 ≤ |x + 1| (https://i.imgur.com/GMK2zSt.png)
Bij deze vergelijking kom ik uiteindelijk uit op x ≥ 0 Ook als ik het op m'n GR check lijkt dat te klopen. Maar het antwoorden boek zegt dat het antwoord x ≥ -1/2 is. Dus wat doe ik verkeerd?
En mijn lange vraag is, hoe werken polynomen nou precies? Zover begrijp ik dat https://i.imgur.com/xAZzxyn.png dit uiteindelijk naar https://i.imgur.com/5DjMq7o.png dat moet gaan. Het heeft een relatie met n - 1. Maar wat betekent zo een lage "n" ook alweer. En hoe precies kom ik aan g(x) (dat dus te maken heeft met n-1). https://i.imgur.com/7xjS2ug.png Dit is een voorbeeld uit het boek. En dan hebben ze gegeven dat a = 1. En dit is dan het antwoord https://i.imgur.com/zTbjfvB.png . Ik begrijp de (x - 1) Maar de g(x) en de + 1 begrijp ik niet.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Merk op dat √a uitsluitend gedefinieerd is voor a≥0, dus er geldt in ieder geval dat 2x+1≥0, dus x≥-½. Merk verder op dat |a| = a voor a≥0, dus er geldt dat |x+1| = x+1 voor x≥-1. Vanwege het feit dat x≥-½ betekent dit dus dat moet gelden dat . Los nu eens de wortelvergelijking op en bedenk dat in ieder geval moet gelden dat x≥-½. Wat volgt daaruit voor de oplossing van de ongelijkheid?
Een polynoom van graad n heeft de algemene gedaante , waarbij coëfficiënten zijn die uit een gegeven getalverzameling, zoals de gehele, rationale, reële of complexe getallen, kunnen worden gekozen. Stel f(x) is een polynoom van graad n en g(x) is een polynoom van graad m met m≤1≤n, dan zijn er 2 uniek bepaalde polynomen q(x) en r(x) te vinden met graad(r(x))<graad(g(x)) waarvoor geldt dat f(x) = q(x)·g(x)+r(x), waarbij q(x) het quotiëntpolynoom en r(x) het restpolynoom bij deling van f(x) door g(x) voorstelt. Indien g(x) = x-a geldt dat r(x) = f(a). Dit is de zogenaamde reststelling voor polynomen. Voor r(x) = 0 betekent dit dat x-a een factor van f(x) is en dat x = a dan een nulpunt van f(x) is. Dit is de zogenaamde factorstelling voor polynomen.
Om bij een polynoom van graad n met geheeltallige coëfficiënten de nulpunten te vinden bepaal je alle mogelijke delers van de hoogste coëfficiënt, dus van . Stel dat a zo'n deler is waarvoor geldt dat f(a) = 0, dan is x = a dus een nulpunt van f(x) en is x-a een factor van f(x).
Bij het voorbeeld in je boek is gegeven dat q(x) = x-1, dus dat f(x) = (x-1)g(x)+r(x). Bepaal nu aan de hand van de gegeven uitdrukking voor f(x) eens de uitdrukking voor g(x) en r(x).
Een polynoom van graad n heeft de algemene gedaante , waarbij coëfficiënten zijn die uit een gegeven getalverzameling, zoals de gehele, rationale, reële of complexe getallen, kunnen worden gekozen. Stel f(x) is een polynoom van graad n en g(x) is een polynoom van graad m met m≤1≤n, dan zijn er 2 uniek bepaalde polynomen q(x) en r(x) te vinden met graad(r(x))<graad(g(x)) waarvoor geldt dat f(x) = q(x)·g(x)+r(x), waarbij q(x) het quotiëntpolynoom en r(x) het restpolynoom bij deling van f(x) door g(x) voorstelt. Indien g(x) = x-a geldt dat r(x) = f(a). Dit is de zogenaamde reststelling voor polynomen. Voor r(x) = 0 betekent dit dat x-a een factor van f(x) is en dat x = a dan een nulpunt van f(x) is. Dit is de zogenaamde factorstelling voor polynomen.
Om bij een polynoom van graad n met geheeltallige coëfficiënten de nulpunten te vinden bepaal je alle mogelijke delers van de hoogste coëfficiënt, dus van . Stel dat a zo'n deler is waarvoor geldt dat f(a) = 0, dan is x = a dus een nulpunt van f(x) en is x-a een factor van f(x).
Bij het voorbeeld in je boek is gegeven dat q(x) = x-1, dus dat f(x) = (x-1)g(x)+r(x). Bepaal nu aan de hand van de gegeven uitdrukking voor f(x) eens de uitdrukking voor g(x) en r(x).
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit oparno schreef:Merk op dat √a uitsluitend gedefinieerd is voor a≥0, dus er geldt in ieder geval dat 2x+1≥0, dus x≥-½. Merk verder op dat |a| = a voor a≥0, dus er geldt dat |x+1| = x+1 voor x≥-1. Vanwege het feit dat x≥-½ betekent dit dus dat moet gelden dat . Los nu eens de wortelvergelijking op en bedenk dat in ieder geval moet gelden dat x≥-½. Wat volgt daaruit voor de oplossing van de ongelijkheid?
Een polynoom van graad n heeft de algemene gedaante , waarbij coëfficiënten zijn die uit een gegeven getalverzameling, zoals de gehele, rationale, reële of complexe getallen, kunnen worden gekozen. Stel f(x) is een polynoom van graad n en g(x) is een polynoom van graad m met m≤1≤n, dan zijn er 2 uniek bepaalde polynomen q(x) en r(x) te vinden met graad(r(x))<graad(g(x)) waarvoor geldt dat f(x) = q(x)·g(x)+r(x), waarbij q(x) het quotiëntpolynoom en r(x) het restpolynoom bij deling van f(x) door g(x) voorstelt. Indien g(x) = x-a geldt dat r(x) = f(a). Dit is de zogenaamde reststelling voor polynomen. Voor r(x) = 0 betekent dit dat x-a een factor van f(x) is en dat x = a dan een nulpunt van f(x) is. Dit is de zogenaamde factorstelling voor polynomen.
Om bij een polynoom van graad n met geheeltallige coëfficiënten de nulpunten te vinden bepaal je alle mogelijke delers van de hoogste coëfficiënt, dus van . Stel dat a zo'n deler is waarvoor geldt dat f(a) = 0, dan is x = a dus een nulpunt van f(x) en is x-a een factor van f(x).
Bij het voorbeeld in je boek is gegeven dat q(x) = x-1, dus dat f(x) = (x-1)g(x)+r(x). Bepaal nu aan de hand van de gegeven uitdrukking voor f(x) eens de uitdrukking voor g(x) en r(x).
Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het En dan wordt 0 en wordt dan ½. Dus dan is het inderdaad
Werkt dat zo
Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?
Als r(x)=0 dan is g(x) een factor van f(x) en x=a is een nulpunt. Dus f(x)=0?
f(x)=(x-1)*(a-a)+a=0?
g(x)=0 en r(x)=a? Ik denk niet dat ik dat correct heb gedaan :/
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Dat is inderdaad de oplossing van de wortelvergelijking .Cookie schreef:Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit op
Nee, dat klopt niet. Bedenk dat als x = -½ en dat dat als x>-½. Ga nu na dat voor x>-½ door van beide functies (de wortelfunctie links en de absolute waarde functie rechts) de grafieken te tekenen.Cookie schreef:Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het
Nee, dat klopt niet. Wat is het voorschrift van f(x) in het gegeven voorbeeld, dus hoe bepaal je daaruit de bijbehorende g(x) enCookie schreef:Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?:/
r(x)? Zoek indien nodig eens een vergelijkbaar voorbeeld uit je boek op om te zien hoe je precies te werk gaat.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Hmm, dus ik doe het helemaal verkeerd.arno schreef:Dat is inderdaad de oplossing van de wortelvergelijking .Cookie schreef:Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit op
Nee, dat klopt niet. Bedenk dat als x = -½ en dat dat als x>-½. Ga nu na dat voor x>-½ door van beide functies (de wortelfunctie links en de absolute waarde functie rechts) de grafieken te tekenen.Cookie schreef:Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het
Nee, dat klopt niet. Wat is het voorschrift van f(x) in het gegeven voorbeeld, dus hoe bepaal je daaruit de bijbehorende g(x) enCookie schreef:Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?:/
r(x)? Zoek indien nodig eens een vergelijkbaar voorbeeld uit je boek op om te zien hoe je precies te werk gaat.
https://imgur.com/a/tkiKtsE Oke, dus ik zie inderdaad dat op x=-1/2 dat |x+1| groter is dan √2x + 1.
https://i.imgur.com/G0HpkhX.png Dit is een andere opgave uit het boek. De opgave luidt "Bepaal bij het gegeven polynoom f(x) en het gegeven getal a een polynoom g(x) en een getal b zo, dat f(x) = (x − a)g(x) + b. Ga telkens na dat b = f(a)."
Re: Vergelijkingen en Polynomen
De bedoeling is de functie: f(x)=2x^2+3 te herschrijven als f(x)=(x-1)(... + ...) + ..., ben je het daarmee eens?
De factor (... + ...) kan alleen maar van de vorm px+q zijn. Eens?
Kan je nu verdergaan en p en q bepalen?
De factor (... + ...) kan alleen maar van de vorm px+q zijn. Eens?
Kan je nu verdergaan en p en q bepalen?
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Wacht, ja, ik denk dat ik het nu snap. Ik nog een keer naar de uitleg gekeken. Dus dan is de vorm px+q -> 2x+2 ?
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Mooi!
Wat wordt dan: f(x)=(x-1)(2x+2)+r , de term r?
Wat wordt dan: f(x)=(x-1)(2x+2)+r , de term r?
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Dat wordt dan 5. Want a is 1.SafeX schreef:Mooi!
Wat wordt dan: f(x)=(x-1)(2x+2)+r , de term r?
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Mooi.
Is je vraag opgelost?
Is je vraag opgelost?
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Ja, ik denk het wel Bedankt voor alle hulp.
Re: Vergelijkingen en Polynomen
Mooi! Succes verder.