optimaliseren onder voorwaarde

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Dexvos
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 26 jun 2015, 12:09

optimaliseren onder voorwaarde

Bericht door Dexvos » 06 feb 2019, 19:45

Hoi allemaal,

Ik zit vast bij de volgende berekening voor mijn scriptie. Ik weet niet goed hoe ik het moet aanpakken en heb ook nooit een manier geleerd op mijn studie om een dergelijk probleem op te lossen, voor zover ik mij herinner. Ik wil graag de volgende formule optimaliseren met betrekking tot s:

\(U^a=\frac{1}{24}(4-\frac{1}{s^2})-\frac{1}{2}b^2-(s-1)c\)

onder voorwaarde dat \(s\leq\frac{1}{2b^2}\)

Voor zover van belang geldt nog dat:
  • \(s\geq1 \)
    b en c zijn constanten met \(0<b<1\) en \(0\leq c \leq 1\)
Ik hoop dat iemand mij hiermee op de juiste weg kan wijzen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3140
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: optimaliseren onder voorwaarde

Bericht door arie » 07 feb 2019, 14:28

\(U^a\) zie je hier dus als functie van s:

\(U^a(s)=\frac{1}{24}(4-\frac{1}{s^2})-\frac{1}{2}b^2-(s-1)c\)

werk de haakjes weg:

\(U^a(s)=\frac{1}{6}-\frac{1}{24}s^{-2}-\frac{1}{2}b^2-cs+c\)

breng alle constanten naar achter:

\(U^a(s)=-\frac{1}{24}s^{-2}-cs + \left( c -\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{6}\right)\)


In een (al dan niet lokaal) optimum van een functie is de afgeleide van die functie nul.
Informatie over afleiden vind je bv. hier: https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide.
Voor ons is van belang dat de afgeleide van een functie
\(f(x) = c\cdot x^a\)
gelijk is aan
\(f'(x) = a \cdot c\cdot x^{a-1}\)
en dat we in een veelterm de afgeleide van elke term afzonderlijk kunnen nemen en de resultaten daarvan mogen optellen, zie de paragrafen
https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide ... e_functies
en
https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide#Rekenregels

Dit levert:

\({U^a} '(s)=-\frac{-2}{24}s^{-3} - c \)

ofwel

\({U^a}'(s)=\frac{1}{12}s^{-3} - c \)

In een optimum moet deze nul zijn:

\(\frac{1}{12}s^{-3} - c = 0 \)

\(s^{-3} = 12 c \)

\(s = \sqrt[3]{\frac{1}{12c}}\)

Tenslotte moet je alleen nog controleren of s aan alle randvoorwaarden voldoet.
Zo niet, dan is s de grootste toegestane grenswaarde.

Merk nog op:
Je stelt:

\(1 \le s\) en \(s \le \frac{1}{2b^2}\)

dus moet ook gelden:

\(1 \le \frac{1}{2b^2}\)

\(2b^2 \le 1\)

\(b \le \frac{1}{2} \sqrt{2} = 0.7071...\)

Is b groter dan dit, dan bestaat er binnen de randvoorwaarden geen oplossing voor s.

Evenzo wegens \(1 \le s\):

\(1 \le \sqrt[3]{\frac{1}{12c}}\)

\(1 \le \frac{1}{12c}\)

\(c \le \frac{1}{12} = 0.083333...\)


Voorbeeld:

Afbeelding

b = 0.3
c = 0.01

Optimum:

\(s_{opt} = \sqrt[3]{\frac{1}{12\; \cdot \; 0.01}} = 2.0274...\)

\(U^a(s_{opt})=-\frac{1}{24}s_{opt}^{-2}-0.01s_{opt} + \left( 0.01 -\frac{1}{2}0.3^2 + \frac{1}{6}\right)= 0.10125565...\)

Randvoorwaarde:

\(s \le \frac{1}{2b^2} = \frac{1}{2\cdot 0.3^2} = \frac{1}{0.18} = 5.555...\)

ons optimum (bij s = 2.0274...) valt daarbinnen en is dus OK.

Ter controle van het optimum:
De waarden van \(U^a\) een klein stukje links en een klein stukje rechts van het optimum:
\(U^a(2.02) = 0.10125 524...\)
\(U^a(2.03) = 0.10125 560...\)
zijn beide inderdaad lager dan die van het optimum zelf:
\(U^a(2.0274...) = 0.10125 565...\)

Kom je hiermee verder?

Dexvos
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 26 jun 2015, 12:09

Re: optimaliseren onder voorwaarde

Bericht door Dexvos » 11 feb 2019, 11:31

Ja dit is perfect, erg bedankt! Ik was veel te moeilijk aan het denken, maar door deze uitleg kan ik weer verder!

Plaats reactie