Statica, een stapel boeken

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
De hamvraag
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 jun 2019, 17:33

Statica, een stapel boeken

Bericht door De hamvraag » 05 jul 2019, 23:26

Beste allemaal, ik heb weer een vraag.

Statica gaat me wel goed, maar ik blijf hangen op een stapel boeken...

Dit is de vraag:

Afbeelding

Dit was het antwoord(ik ging maar kijken, want bij deze vraag kon ik niets toepassen voor zover ik het kon verzinnen):

Afbeelding

Misschien dat jullie wel wat met de formules kunnen?(de formules aan de linker kant zijn inmiddels de revu gepasseerd):

Afbeelding

Nu ik er niets mee aan kon, maar uit het antwoord wel iets kon verzinnen, lijkt het er op dat het eerste boek(de middelste dus) 1/2a kan uitsteken en het 2e boek 1/2a+1/4a kan uitsteken. De helft van wat het eerste boek kan uitsteken. Een 3e boek zou dus 1/2a+1/4a+1/8a kunnen uisteken.

Dat een boek net niet valt als het met het midden op de rand van het boek er onder staat, is logisch, het zwaartepunt ligt natuurlijk ook in het midden van het boek. Maar waarom het boek er boven nu precies 1/4 uitsteekt en niet verder kan??? Geen idee. Eerst dacht ik steeds de helft, dus na 2 boeken steekt het d uit. Maar dat gaat natuurlijk niet. De boeken volgen nu een beetje de vorm van een hyperbool als je de stapel groot genoeg maakt. Maar waarom??

Het boek bood geen antwoorden. Anders dan het antwoord achterin.

Groeten,

De hamvraag

Ps.
De vraag er voor is ook een mooie (hint: de krachten vallen samen in een en hetzelfde punt, zodat het moment 0 is, verder moeten alle verticale en horizontale krachten elkaar opheffen.) Duurde wel even, maar daarna kun je wel een driekrachten onderdeel berekenen.:

Afbeelding

Voor de stapel boeken is dit niet van toepassing. De krachten vallen niet samen in een punt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3244
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Statica, een stapel boeken

Bericht door arie » 06 jul 2019, 10:24

De hamvraag schreef:
05 jul 2019, 23:26
Nu ik er niets mee aan kon, maar uit het antwoord wel iets kon verzinnen, lijkt het er op dat het eerste boek(de middelste dus) 1/2a kan uitsteken en het 2e boek 1/2a+1/4a kan uitsteken. De helft van wat het eerste boek kan uitsteken. Een 3e boek zou dus 1/2a+1/4a+1/8a kunnen uisteken.

Dat een boek net niet valt als het met het midden op de rand van het boek er onder staat, is logisch, het zwaartepunt ligt natuurlijk ook in het midden van het boek. Maar waarom het boek er boven nu precies 1/4 uitsteekt en niet verder kan??? Geen idee. Eerst dacht ik steeds de helft, dus na 2 boeken steekt het d uit. Maar dat gaat natuurlijk niet. De boeken volgen nu een beetje de vorm van een hyperbool als je de stapel groot genoeg maakt. Maar waarom??
Voor evenwicht moet er steun zijn onder het massamiddelpunt.
Kies voor het gemak a=1, en plaats de boeken in een assenstelsel, zodanig dat het bovenste boek tegen de y-as aan ligt:

Afbeelding

Het zwaartepunt van het bovenste (blauwe) boek ligt op \(x = \frac{1}{2}\).
Dat betekent dat we het tweede boek (groen) maximaal \(\frac{1}{2}\) naar rechts kunnen opschuiven: gaan we verder, dan heeft het zwaartepunt van het blauwe boek geen ondersteuning meer.
Het zwaartepunt van het groene boek ligt dan op \(x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Nu leggen we deze stapel van 2 boeken op een derde boek (bruin).
We moeten zorgen dat het het massamiddelpunt M van de stapel van 2 boeken ondersteuning heeft.
Het massamiddelpunt is het gewogen gemiddelde van de zwaartepunten van alle delen
(zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Massamiddelpunt)
en omdat alle boeken even zwaar zijn, kunnen we hiervoor het gewone gemiddelde van hun zwaartepunten nemen.

We vinden zo voor de x-coördinaat van M:

\(x_M = \frac{(1/2)+1}{2} = \frac{3}{4}\)

Het bruine boek kunnen we dus tot \(\frac{3}{4}\) vanaf de y-as naar rechts schuiven.
Tot daar zal de stapel nog net niet omvallen.


Zouden we doorbouwen aan de stapel, dan weten we nu dat het zwaartepunt van het bruine boek op
\(x = \frac{3}{4}+ \frac{1}{2} = \frac{5}{4}\) ligt.
Het massamiddelpunt van de 3 boeken ligt dan op het gemiddelde van de 3 zwaartepunten:

\(x_{M3} = \frac{(1/2) + 1 + (5/4)}{3} = \frac{11}{12}\)

Het vierde boek kunnen we dus tot \(\frac{11}{12}\) vanaf de y-as naar rechts schuiven.
Tot daar zal de stapel van de 3 boeken erboven nog net niet omvallen.

Het derde boek steekt dan \(\frac{11}{12}- \frac{3}{4} = \frac{1}{6} \) uit buiten het vierde boek.


Hoe ver kan het vijfde boek maximaal naar rechts liggen, als we dit onder bovenstaande stapel van 4 zouden plaatsen?

De hamvraag
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 jun 2019, 17:33

Re: Statica, een stapel boeken

Bericht door De hamvraag » 06 jul 2019, 21:49

Uitgaande van het massamiddelpunt van de bovenste 4 boeken, komt het punt op 25/24e deel te liggen.

Afbeelding

Ja, als je eenmaal weet hoe iets moet, is het niet moeilijk meer. Zo voor de hand liggend, maar verzin het maar eens.

Bedankt!

Groeten,

De hamvraag

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3244
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Statica, een stapel boeken

Bericht door arie » 07 jul 2019, 09:24

OK.

Nog 2 opmerkingen:

[1] Omdat de linker zijde van het vijfde boek opschuift naar \(x = \frac{25}{24} > 1\) ligt het bovenste boek buiten het basisvlak van het vijfde boek, terwijl de stapel toch in evenwicht is:

Afbeelding


[2] Het vierde boek steekt \(\frac{25}{24} - \frac{11}{12} = \frac{1}{8}\) uit buiten het vijfde boek.

Het lijkt er op dat het verschil tussen de x-coördinaten van boek n en boek (n-1) gelijk is aan
\(\frac{1}{2(n-1)}\) voor \(n \ge 2\)
Dit kan je bewijzen via de formule die we gevonden hebben voor de ligging van het zwaartepunt:
\(z_n = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}z_i}{n-1} + \frac{1}{2}\)
(de ligging van het zwaartepunt van het n-de boek = het gemiddelde van die van alle boeken erboven + \(\frac{1}{2}\))

De totale overhang van de stapel boeken wordt daarmee de helft van de partiële sommen van de harmonische rij
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische_rij):
n=2: \(\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{1}\right)\)
n=3: \(\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)\)
n=4: \(\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\right)\)
etc.

Deze getallen vormen de curve die je in je eerste post al vond.

Terzijde: omdat de harmonische reeks divergeert, is de totale overhang van je boekenstapel onbegrensd, zolang je maar genoeg boeken hebt om te stapelen.

parref
Vast lid
Vast lid
Berichten: 26
Lid geworden op: 08 sep 2013, 00:05

Re: Statica, een stapel boeken

Bericht door parref » 07 jul 2019, 22:24

Beste Arie,
Uw redenering is correct en goed uitgelegd en is geldig gezien de boeken los van elkaar opgestapeld worden.
Echter, ik vraag me af indien deze waardes ook geldig zijn indien we de boeken vooraf aan elkaar zouden lijmen.
Denk b.v. aan het bouwen van een muurtje met aan elkaar gelijmde bakstenen. Maakt dit een verschil ?
Groetjes en bedankt

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3244
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Statica, een stapel boeken

Bericht door arie » 10 jul 2019, 11:21

Afbeelding

Met lijm kan je constructies bouwen zoals in het plaatje hierboven.
Hierdoor kan je sneller grote overspanningen bereiken.

Noem
N = aantal boeken (hierboven 22)
V = aantal boeken in voetdeel (groen)
B = N - V = aantal boeken in bovendeel (blauw)
Daarnaast gaan we uit van een plakstrook met breedte p.
Hoe beter je lijm, hoe kleiner deze plakstrook uit zal vallen, hierboven is p = 0.1 (bij boekbreedte = 1.0).

Het bovendeel is zo lang mogelijk gemaakt: dan krijgen we links de grootste overspanning, en rechts het grootste contragewicht. Evenzo voor het groene deel dat zo het grootste contragewicht levert.
Noem van het blauwe deel:
w1 = B - (B-1)*p = totale breedte bovendeel
d1 = w1 / 2
Noem van het groene deel:
w2 = V - (V-1)*p = totale breedte voetdeel
d2 = w2 / 2

De rode stip (met x-coördinaat xm) is het massamiddelpunt van de totale constructie:
- dit willen we zo ver mogelijk naar rechts voor de grootste overspanning, en
- dit moet boven het onderste groene boek liggen voor evenwicht, en wel zo ver mogelijk aan de linker kant van dit boek voor de grootste overspanning.

Nu de momenten van de 2 delen om het massamiddelpunt van het totaal:
neem
a1 = xm - d1 = arm blauwe deel
F1 = B * g * \(\text{massa}_{boek}\) = kracht blauwe deel
M1 = F1 * a1 = moment blauwe deel, linksom
en
a2 = d2 = arm groene deel
F2 = V * g * \(\text{massa}_{boek}\) = kracht groene deel
M2 = F2 * a2 = moment groene deel, rechtsom
dan geldt bij evenwicht dat deze 2 (tegengestelde) momenten in absolute zin gelijk zijn.
Dit levert:
B * (xm - d1) = V * d2
ofwel
\(x_m = d_1 + \frac{V}{N-V}d_2\)

De x-coördinaat xt van de top van het groene deel die contact maakt met het blauwe deel is dan:

\(x_t = x_m + 2d_2 = d_1 + \frac{2N-V}{N-V}d_2\)

d1 en d2 liggen vast in N, V en p,
dus voor elke N, V en p kunnen we xt bepalen.

We zoeken dan de xt zodanig dat we het groene deel aan het blauwe deel kunnen vastlijmen:

\(w_1 - (1-p) \le x_t \le w1 + (1-p)\)


Om niet alle mogelijke waarden van V tussen nul en N te hoeven uitproberen maken we eerst een benadering voor V:

\(d_1 \approx \frac{(1-p)\cdot B}{2}\)

\(d_2 \approx \frac{(1-p)\cdot V}{2}\)

dus volgens de formule voor xm hierboven is

\(x_m \approx \frac{1-p}{2}\cdot (N-V) + \frac{1-p}{2}\cdot \frac{V^2}{N-V}\)

Tevens benaderen we:

\(x_m = x_t - 2d_2 \approx 2d_1 - 2d_2\)

en stellen we deze 2 formules voor xm aan elkaar gelijk:

\((1-p)B - (1-p)V \approx \frac{1-p}{2}\cdot (N-V) + \frac{1-p}{2}\cdot \frac{V^2}{N-V}\)

Herleiden geeft:

\(2V^2 - 4NV + N^2 \approx 0\)

dus

\(V \approx N \cdot (1-\frac{1}{2}\sqrt{2})\)


Voorbeeld

Voor N = 22 als in het plaatje:

\(V \approx 22 \cdot (1-\frac{1}{2}\sqrt{2}) = 6.4436...\)

Probeer daarom eerst V = 6:

B = N - V = 22 - 6 = 16
w1 = 14.5
d1 = 7.25
w2 = 5.5
d2 = 2.75

\(x_m = d_1 + \frac{V}{N-V}\cdot d_2 = 7.25 + \frac{6}{22-6}\cdot 2.75 = 8.28125\)

dus

\(x_t = x_m + w_2 = 8.28125 + 5.5 = 13.78125\)

w1 - (1-p) = 14.5 - 0.9 = 13.6
w1 + (1-p) = 14.5 + 0.9 = 15.4
en omdat \(13.6 \le 13.78125 \le 15.4\) kunnen we deze 2 componenten aan elkaar lijmen en is de constructie compleet (we hoeven in dit geval geen andere waarden voor V uit te proberen).

We hebben nu met N = 22 boeken en p = 0.1 als overspanning \(x_m = 8.28125\)


Noot:
Met de formule die we eerder zagen zou je zonder lijm met N = 22 boeken een overspanning kunnen maken van

\(\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{21}\frac{1}{i} = 1.8226...\)

Dit is aanzienlijk minder.

Zonder lijm hebben we pas voor
N = 8756303 boeken een overspanning van 8.281249974...
en voor
N = 8756304 boeken een overspanning van 8.281250031...
De harmonische reeks divergeert erg traag.

Plaats reactie