Gelijk of ongeveer ?

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Gelijk of ongeveer ?

Bericht door henkoegema » 19 jul 2020, 22:30

Is \( \frac{1}{12}=0,08\bar{3} \)
of
\(\frac{1}{12}\approx 0,08\bar{3}\) ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3528
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Gelijk of ongeveer ?

Bericht door arie » 20 jul 2020, 08:05

Gelijk:


Dit is anders dan dit:


is een notatie voor 0,08 gevolgd door oneindig veel cijfers 3.

Je kan dit vergelijken met een limiet van een sommatie met oneindig veel termen, bijvoorbeeld:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^1}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + ....\)

\( = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + .... = 1\)

Ook al kan je alle termen of getallen niet allemaal opschrijven weet je wel wat de waarde (de uitkomst) van deze sommatie is.
Dit geldt ook voor de repeterende breuken.


Noot: er bestaat soms meer dan 1 notatie voor hetzelfde getal. Een bekend voorbeeld is:
\(1 = 0.\bar{9}\)
immers:
\(\frac{1}{9}=0.\bar{1}\)
\(9 \cdot \frac{1}{9}= 9 \cdot 0.\bar{1}\)
\(1= 0.\bar{9}\)


Zie verder bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Repeterende_breuk

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Gelijk of ongeveer ?

Bericht door henkoegema » 20 jul 2020, 13:18

arie schreef:
20 jul 2020, 08:05
Gelijk:


Dit is anders dan dit:


is een notatie voor 0,08 gevolgd door oneindig veel cijfers 3.

Je kan dit vergelijken met een limiet van een sommatie met oneindig veel termen, bijvoorbeeld:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^1}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + ....\)

\( = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + .... = 1\)

Ook al kan je alle termen of getallen niet allemaal opschrijven weet je wel wat de waarde (de uitkomst) van deze sommatie is.
Dit geldt ook voor de repeterende breuken.


Noot: er bestaat soms meer dan 1 notatie voor hetzelfde getal. Een bekend voorbeeld is:
\(1 = 0.\bar{9}\)
immers:
\(\frac{1}{9}=0.\bar{1}\)
\(9 \cdot \frac{1}{9}= 9 \cdot 0.\bar{1}\)
\(1= 0.\bar{9}\)


Zie verder bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Repeterende_breuk
Dus dan zou de conclusie moeten zijn dat:

juist is
en dat
niet juist is.

Het gaat me hoofdzakelijk om het teken.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1912
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Gelijk of ongeveer ?

Bericht door arno » 20 jul 2020, 14:37

henkoegema schreef:
20 jul 2020, 13:18
Dus dan zou de conclusie moeten zijn dat:

juist is
en dat
niet juist is.
De eerste notatie is inderdaad de juiste. Je kunt wel schrijven dat .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Plaats reactie