vectoren

Algemene info over deze site. Suggesties e.d. kunnen hier ook geplaatst worden.
Plaats reactie
Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

vectoren

Bericht door Timson28 » 06 sep 2020, 11:55

In een driehoek zijn D,E en F respectievelijk de middens van (BC) (AC) en (AB) . Bewijs dat driehoek abc en def hetzelfde zwaartepunt hebben.

Wat ik heb gedaan.

AZ=2ZD
AP+PZ=2(ZP+PD)
-PA+PZ=2(-PZ+(PC+PB)/2)
PZ=(PA+PB+PC)/3

Z=(A+B+C)/3

Dit ook voor de andere driehoek Z=(E+D+F)/3

(A+B+C)/3 =(E+D+F)/3

(E+D+F)/3 = ((A+C)/2 )+((C+B)/2)+((A+B)/2)/3 = ((A+C+C+B+A+B)/2)/3 = (2A+2B+2C)/6 = (A+B+C)/3


klopt dit?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vectoren

Bericht door arie » 06 sep 2020, 16:44

Het punt P heb je niet gedefinieerd (mogelijk staat dat in de opgave??).
Maar de uitkomst van het eerste deel klopt wel:

Het zwaartepunt van een driehoek ABC = \(Z_{ABC} = (A+B+C)/3\)

Mogelijk heb je dit ook al gehad als stelling.
Je kan daarmee direct door naar de laatste (lange) regel van je bewijs:

\(Z_{DEF} = (D+E+F)/3 = \; ... \; = \; ... \; = \; ... \; = (A+B+C)/3 = Z_{ABC}\)

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 06 sep 2020, 17:08

Dankje Arie


Zou ik nog één vraag mogen stellen ? De laatste. Het is een oefening maar ik snap deze niet.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vectoren

Bericht door arie » 06 sep 2020, 18:38

... Zou ik nog één vraag mogen stellen ? ...
Je mag hier onbeperkt vragen stellen
(als het echt veel te veel wordt dan laten we dit wel weten, maar dat is nog nooit gebeurd).

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 06 sep 2020, 18:58

Ik heb de oefening bij bestanden toegevoegd.

Ik snap niet hoe ik aan moet beginnen. Ik dacht eerst om assen te tekenen en dan zo voort te gaan maar dit is niet de juist manier denk ik.

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 06 sep 2020, 19:06

Ik kan geen foto toevoegen blijkbaar maar de vraag is:
gegeven een niet regelmatige piramide met top t en grondvlak abcd. z1 is het zwaartepunt van het viervlak tabl en z2 is het zwaartepunt van het viervlak tabd

en t is de top


toon aan dat Z1Z2=k*DC maar dan vectoren

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vectoren

Bericht door arie » 06 sep 2020, 21:55

Is deze formule bekend voor het zwaartepunt voor een 4-vlak met 4 hoekenpunten A, B, C en D:

\(\overline{z} = \frac{\overline{a}\;+\;\overline{b}\;+\;\overline{c}\;+\;\overline{d}}{4}\)

Toon dan aan dat je vector \((\overline{z_2} - \overline{z_1})\) kan uitdrukken in vector \((\overline{d}-\overline{c})\)


Zo niet, heb je dan andere formules die je mag gebruiken, bijvoorbeeld het verband tussen enerzijds het zwaartepunt van de piramide en anderzijds de top en het zwaartepunt van het grondvlak ?

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 13 sep 2020, 18:13

Ja die formule ken ik maar wat moet je met die k doen? k heb ik wel gevonden dat is -1/4 maar ik veronderstel dat je dit gelijkheid eerst moet aantonen voor dat je k berekend.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vectoren

Bericht door arie » 13 sep 2020, 18:44

\(Z_1\) is het zwaartepunt van viervlak \(TABC\), dus in vectoren:

\(\textbf{z}_1 = \frac{\textbf{t}+\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}}{4}\)

\(Z_2\) is het zwaartepunt van viervlak \(TABD\), dus in vectoren:

\(\textbf{z}_2 = \frac{?}{?}\)

Gebruik deze 2 gelijkheden om de vector van Z1Z2 te bepalen:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = \frac{?}{?} - \frac{?}{?}\)

en schrijf tenslotte de laatste 2 breuken als 1 breuk.

Wat krijg je dan?

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 13 sep 2020, 18:47

ik ga het even uitwerken

Timson28
Vast lid
Vast lid
Berichten: 41
Lid geworden op: 15 jun 2020, 18:54

Re: vectoren

Bericht door Timson28 » 13 sep 2020, 18:49

Dan krijg je Z2-Z1= (D-C)/4

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vectoren

Bericht door arie » 13 sep 2020, 19:13

Dan ben je er al: je hebt zojuist aangetoond:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = \frac{1}{4} \cdot (\textbf{d} - \textbf{c})\)

dus de vector van Z1 naar Z2 is 1/4 van de vector van C naar D,
ofwel: k = 1/4.


PS:

Kijk nog even naar de richting van de vectoren zoals die precies in de opgave staat:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = -\frac{1}{4} \cdot (\textbf{c} - \textbf{d})\)

dus de vector van Z1 naar Z2 is -1/4 van de vector van D naar C,
ofwel: k = -1/4.

In dit geval zijn de richtingen tegengesteld.

Plaats reactie