1 tot de macht oneindig

Apollonius · Bericht door **Apollonius** » 03 mei 2016, 19:51

Hallo,

Ik volg op het moment het vak 'rijen en reeksen' en hier hebben we het vooralsnog vooral over de limiet van een rij a_n bij nadering van n naar oneindig en of deze rij divergerend danwel convergerend is.
Mijn calculusleraar vertelde mij laatst dat 1 tot de macht ∞ hierbij gelijk is aan 1. Hoewel dit erg logisch klinkt, stuit ik vannuit deze stelling al snel op iets waarvan ik zeker denk te weten dat het onwaar is.

Afbeelding

link

Er zal ongetwijfeld iets mankeren aan mijn redenering. Ik hoop dat jullie me kunnen vertellen wat precies.

Groetjes

Bericht door **Kinu** » 03 mei 2016, 20:29

Wat je leraar calculus zegt klopt niet. Je kan niet zomaar concluderen dat $1^{\infty} = 1$ . Intuïtief lijkt dit wel zo, maar je moet altijd rekening houden dat $\infty$ geen getal is, maar een symbool. Om in te zien dat $1^{\infty}$ niet altijd 1 is, bereken eens de volgende twee limieten:
(1) $\lim_{x \to \infty} 1^{x}$
(2) $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}$
Beide limieten zijn in principe $1^{\infty}$ , maar wat bemerk je als je de limieten uitrekent? Krijg je in beide gevallen 1?

Bericht door **SafeX** » 03 mei 2016, 20:45

Kinu schreef:Beide limieten zijn in principe $1^{\infty}$

Is dat waar ... ?

Bericht door **Kinu** » 03 mei 2016, 20:58

SafeX schreef:
Kinu schreef:Beide limieten zijn in principe $1^{\infty}$
Is dat waar ... ?

De limiet is goed gedefinieerd (zowel linker als rechter). Om correct te zijn, moet $x \to 0^{+}$ beschouwd worden.

Bericht door **SafeX** » 04 mei 2016, 08:19

De tweede limiet is niet te lezen als:

Kinu schreef:
$1^{\infty}$

Apollonius · Bericht door **Apollonius** » 04 mei 2016, 10:26

Kinu schreef:Wat je leraar calculus zegt klopt niet. Je kan niet zomaar concluderen dat $1^{\infty} = 1$ . Intuïtief lijkt dit wel zo, maar je moet altijd rekening houden dat $\infty$ geen getal is, maar een symbool. Om in te zien dat $1^{\infty}$ niet altijd 1 is, bereken eens de volgende twee limieten:
(1) $\lim_{x \to \infty} 1^{x}$
(2) $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}$
Beide limieten zijn in principe $1^{\infty}$ , maar wat bemerk je als je de limieten uitrekent? Krijg je in beide gevallen 1?

Wow, bij die tweede is de limiet e! Goed voorbeeld zeg. Ik zal hem de volgende les eens aan mijn leraar voorleggen.

Bericht door **Kinu** » 04 mei 2016, 19:07

Je kan het inderdaad voorleggen aan je leraar. SafeX lijkt het hier niet eens mee te zijn, dus ik hoop nog op een verklaring van hem.

Wat ik je in ieder geval wel met zekerheid kan zeggen is dat je zorgvuldig moet omgaan met het symbool $\infty$ . Je intuïtie kan misleidend zijn (zo zijn er tal van voorbeelden in de wiskunde).

Bericht door **SafeX** » 04 mei 2016, 19:34

Wat voor verklaring?

Maar misschien helpt het, als je inziet dat 1+x naar 1 gaat als x naar 0 gaat en dus is 1+x ongelijk 1

Bericht door **wnvl** » 04 mei 2016, 23:45

1+x gaat naar 1 en 1/x gaat naar oneindig; dus de bewering van Kinu lijk mij steek te houden, niet?

Bericht door **SafeX** » 05 mei 2016, 08:52

Leg uit ...

Bericht door **Kinu** » 05 mei 2016, 10:42

SafeX schreef:Wat voor verklaring?

Maar misschien helpt het, als je inziet dat 1+x naar 1 gaat als x naar 0 gaat en dus is 1+x ongelijk 1

Dit spreek ik inderdaad niet tegen. Het is dan ook niet wiskundig correct om te zeggen $1^{\infty}$ is gelijk aan ...., maar het is wel zo dat
$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}$
$\lim_{x \to \infty} 1^{x},$
onbepaaldheden zijn van de vorm $1^{\infty}$ . De limieten zijn niet gelijk aan elkaar. Dit is volgens mij ook wat de OP zijn/haar vraag is.

Bericht door **SafeX** » 05 mei 2016, 10:55

Kinu schreef: $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}$
$\lim_{x \to \infty} 1^{x},$
onbepaaldheden zijn van de vorm $1^{\infty}$ . De limieten zijn niet gelijk aan elkaar.

Dat is dus niet juist om de reden die ik noemde, het grondtal van de tweede is 1 en de eerste nadert tot 1 en wordt nooit gelijk aan 1, dat betekent dat ze dus niet van die vorm zijn.

Bericht door **Kinu** » 05 mei 2016, 11:55

We zijn het allemaal over eens dat $1^{\infty}$ een symbool is en geen getal. Met de standaard reken regels die we kennen kunnen we er geen interpretatie aangeven. Dit betekent dus dat we niet kunnen zeggen $1^{\infty}$ is gelijk aan ... Het is een symbolische uitdrukking die voorkomt in de volgende context:

Definitie van de onbepaaldheid $1^{\infty}$
Als $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$ , dan is $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$ een onbepaaldheid van de vorm $1^{\infty}$ .

Voorbeelden
1. $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e$ . Deze limiet is een onbepaaldheid van de vorm $1^{\infty}$ .
2. $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x} = 1$ . Deze limiet is een onbepaaldheid van de vorm $1^{\infty}$ .

We zien hier dat het grondtal nadert naar $1$ , maar nooit 1 zal worden. Desondanks plakken we op dergelijke limieten wel de onbepaaldheid $1^{\infty}$ . Ik spreek hier dus niet over een gelijkheid. Het is symbolische uitdrukking die eraan gegeven wordt.

Anderzijds, bekijk $\lim_{x \to \infty} 1^{x} = 1$ . Dit is geen onbepaaldheid en is ook niet gelijk aan $1^{\infty}$ , maar kan wel symbolisch gezien zo geïnterpreteerd worden.

Bericht door **SafeX** » 05 mei 2016, 12:03

Wat gebruik je veel woorden ...

Kinu schreef:Anderzijds, bekijk $\lim_{x \to \infty} 1^{x} = 1$ . Dit is geen onbepaaldheid en is ook niet gelijk aan $1^{\infty}$ , maar kan wel symbolisch gezien zo geïnterpreteerd worden.

En hier zien we uit dat 1 als grondtal van een macht altijd 1 oplevert ...

Bericht door **Kinu** » 06 mei 2016, 16:36

SafeX schreef:Wat gebruik je veel woorden ...

Zou je ook eens moeten proberen.

Wiskundeforum

1 tot de macht oneindig

1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig

Re: 1 tot de macht oneindig