Differentiaalvergelijking

[Thomke]

Hallo allemaal. Onderstaande vergelijking doet mijn hoofd breken, iets gaat fout bij het kruislings vermenigvuldigen.



Vervolgens zou ik zeggen





Waar gaat het fout?

Er moet uit komen.

[arie]

Het gaat goed.
Merk op: je had de factor x ook rechts kunnen laten staan: deze gaat nu eerst naar links, en dan weer terug naar rechts.

De volgende stap is beide kanten integreren.
Kom je hiermee verder?

PS: voor later: in de opgave is waarschijnlijk ook een beginvoorwaarde (= initial condition) gegeven. Klopt dat?

[Thomke]

Ja klopt, y(1)=5, dus ik zou in eerste instantie op uit moeten komen.

Als ik integreer aan beide kanten, krijg ik dan ?
En hoe ik dan op uit kom, geen idee..

[arie]

Wat krijg je als je vervolgens beide kanten als e-macht neemt?
Dus jouw gelijkheid herschrijft in de vorm:
\(e^{ln(y(x))} = e^{ln(x)+c}\)

[Thomke]

Ja ben alweer een stukje verder, als ik van beide kanten de e-macht neem, krijg ik e ^ ln(y(x))=e ^ ln(x)+c

-> e ^ ln(x)*e ^ c

Dit wordt dan y(x)=x*e ^ c?

Ik zit nu alleen nog met die e^c in mijn maag, dat moet eigenlijk alleen een constante worden. Kun je mij het laatste zetje geven?

[arie]

Als \(c_1\) een constante is, dan is \(c_2 = e^{c_1}\) ook een constante.
Noem \(c_2\) daarna c, en je bent klaar.

[Thomke]

Ja, achteraf gezien is e^c op zichzelf ook een constante. Snap het nu helemaal. Bedankt!