Raaklijnen aan een grafiek door een punt buiten die grafiek.

[henkoegema]

\(f(x) = -x^2+4x+1\)
P=(3,5)

Hoe stel ik de vergelijking op van de raaklijnen aan f die door het punt P gaan?

[arie]

Neem \(l:\; y=ax+b\)
Als \(P = (3, 5)\) op \(l\) ligt, moet gelden:
\(5 = 3a + b\)
ofwel
\(b = 5-3a\)
waardoor
\(l:\; y=ax+5-3a\)
Dit had je waarschijnlijk zelf ook al gevonden.

Nu gaan we de grafiek van \(f\) snijden met lijn \(l\):
Een punt \(Q\) op de grafiek van \(f\) heeft de vorm \(Q = (x, -x^2+4x+1)\)
Als \(Q\) ook op lijn \(l\) ligt, dan moet ook gelden (invullen in de vergelijking van \(l\)):
\(y_Q = a\cdot x_Q + 5 - 3a\)
ofwel
\(-x^2+4x+1 = a\cdot x + 5 - 3a\)

Als uit deze vergelijking 2 verschillende waarden voor x zouden komen, snijden l en f in 2 punten,
als uit deze vergelijking 1 unieke oplossing voor x volgt, dan snijden l en f in 1 punt = het raakpunt,
als er geen oplossingen zijn voor x, dan snijden l en f elkaar niet.

Wat moet dus gelden voor de discriminant van de laatste vergelijking?

Kom je hiermee verder?

[henkoegema]

Beste Arie
Bedankt voor je reactie.

Aan jouw oplossing heb ik totaal niet gedacht.
Die is verder niet moeilijk op te lossen.

Ik dacht in de richting van:
De richtingscoefficiënt van de raaklijnen aan \(f\) moet hetzelfde zijn als de richtingscoefficiënt van de lijnen die door P gaan.
Heb uiteindelijk toch de oplossing kunnen vinden. (dankzij jouw suggestie \(b=5-3a\))
Ik struikelde op 2 vergelijking met 3 onbekenden (x en a en b)

\(f = g\)
\(f' = g'\)

\(f(x) = -x^2+4x+1\)
\(g(x) = ax +(5-3a)\)

\(f=g\) geeft \(-x^2+4x+1 = ax +(5-3a)\)
\(f'=g'\) geeft \(-2x+4=a\)

\(-x^2+4x+1 =(-2x+4)\cdot x +(5-3(-2x+4))\) geeft \(x=4 \) of \(x=2\)
\(f(4)=1\) geeft \(PQ: y=-2x+4\)
\(f(2)=5\) geeft \(PB: y=5\)