Is het daarbij ook weer niet zo dat je geen strikte ongelijkheid kan aantonen? Voor geldt bijvoorbeeld opnieuw gelijkheid...SafeX schreef:Kies f(z)= z^10+10z en g(z)=9 ...
stelling van Rouché
Re: stelling van Rouché
Re: stelling van Rouché
voor z=1 geldt dan f(1)>g(1)
voor z=0 geldt dan f(0)<g(0)
Ik zie niet wat je met deze opsplitsing kan doen.
voor z=0 geldt dan f(0)<g(0)
Ik zie niet wat je met deze opsplitsing kan doen.
Re: stelling van Rouché
z=0 ligt niet op de rand van de schijf (op de eenheidscirkel dus), dus dat moet je al zeker niet bekijken denk ik..wnvl schreef:voor z=1 geldt dan f(1)>g(1)
voor z=0 geldt dan f(0)<g(0)
Re: stelling van Rouché
Ja, mijn reactie was fout.
Re: stelling van Rouché
Je kan z=-1 op de gebruikelijke manier uitzonderen.eva_V schreef:Is het daarbij ook weer niet zo dat je geen strikte ongelijkheid kan aantonen? Voor geldt bijvoorbeeld opnieuw gelijkheid...SafeX schreef:Kies f(z)= z^10+10z en g(z)=9 ...
Re: stelling van Rouché
Bedoel je zoals enkele posts hoger :SafeX schreef:Je kan z=-1 op de gebruikelijke manier uitzonderen.
?
Maar hoe pas je dan Rouché toe op die tweede factor?
Of bedoel je iets helemaal anders? En wat dan?
Re: stelling van Rouché
Je contour aanpassen door z=-1 uit te zonderen, het gevolg is dat z=-1 het enige nulpunt (dubbel) is.
Re: stelling van Rouché
Huh? De contour aanpassen? Mag dat zomaar? En hoe doe je dat dan?
Bovendien. Hoe weet je dan dat z=-1 het enige (dubbele) nulpunt is? Is dat omdat je sowieso al weet dat z=-1 een dubbel nulpunt is en dat je (met Rouché?) kan vinden dat er binnen die nieuwe contour 2 nulpunten liggen?
Bovendien. Hoe weet je dan dat z=-1 het enige (dubbele) nulpunt is? Is dat omdat je sowieso al weet dat z=-1 een dubbel nulpunt is en dat je (met Rouché?) kan vinden dat er binnen die nieuwe contour 2 nulpunten liggen?
Re: stelling van Rouché
Je hebt zelf z=-1 als nulpunt gevonden. Er mag geen nulpunt op de contour liggen (ook zelf geconstateerd). Door aanpassing van de contour kan je wel Rouché toepassen. Je vindt geen nulpunten binnen die contour. Dus ...
Re: stelling van Rouché
Oké ja, ik snap de redenering. Het is een mooie werkwijze!
Nu vraag ik me alleen af hoe je contour moet vervormen. In ieder geval moet ze kleiner worden denk ik. Maar hoeveel kleiner mag ze worden? Kies je dan de eenheidscirkel met een inkepingetje ter hoogte van -1? Of kies je een cirkel met een kleinere straal?
Nu vraag ik me alleen af hoe je contour moet vervormen. In ieder geval moet ze kleiner worden denk ik. Maar hoeveel kleiner mag ze worden? Kies je dan de eenheidscirkel met een inkepingetje ter hoogte van -1? Of kies je een cirkel met een kleinere straal?
Re: stelling van Rouché
De gebruikelijke: een cirkeltje met straal epsilon met epsilon naar 0.
Re: stelling van Rouché
Aja, eigenlijk is elke cirkel met straal epsilon kleiner dan 1 goed, niet? Als je kan aantonen dat binnen die cirkel geen nulpunt ligt (met Rouché), dan is het oké.
Ja, nu lukt het me wel denk ik!
Hartelijk dank!!
Ja, nu lukt het me wel denk ik!
Hartelijk dank!!
Re: stelling van Rouché
Ok, succes.
Re: stelling van Rouché
Nu is er toch nog 1 iets wat ik me afvraag: Waarom mag je de limiet nemen voor epsilon naar 0? Is het niet de bedoeling dat je zo dicht mogelijk bij de originele cirkel blijft, de eenheidscirkel dus? Als je de limiet neemt voor epsilon naar 0, ga je er dan niet a priori van uit dat er zich geen nulpunten bevinden binnen de eenheidscirkel?
Re: stelling van Rouché
Je toont aan dat er geen nulptn zijn binnen de cirkel. En epsilon naar 0 laten gaan is strikt genomen niet noodzakelijk, maar sluit beter aan met de vraag.