bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid

eliner · Bericht door **eliner** » 10 okt 2010, 11:38

abs( (somformule, met beginwaarde i=1 en eindwaarde n) bi) <= (somformule, met beginwaarde i=1 en eindwaarde n) abs (bi)
met n is een natuurlijk getal, en b een reeel getal.

hoe kan ik deze ongelijkheid bewijzen mbv volledige inductie?
alvast bedankt!

Mathematica · Bericht door **Mathematica** » 10 okt 2010, 12:09

kan je dit eens in de equation editor stoppen?

Bericht door **arie** » 10 okt 2010, 19:04

Je wilt bewijzen:

$\left| \; \sum_{i=1}^n b_i \;\right| \leq \sum_{i=1}^n |b_i |$

Basis:
Voor n=1 is dit triviaal, voor n=2 is dit de normale driehoeksongelijkheid, die je al bewezen had.

Inductie:
Stel je formule klopt voor eindwaarde n >= 2.
Dan geldt voor eindwaarde (n+1):

$\left| \; \sum_{i=1}^{n+1} b_i \;\right|$

$= \left| \;\left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right) + (b_{n+1})\;\right|$

gebruik nu de normale driehoeksongelijkheid:

$\leq \left| \;\left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right)\;\right| + |b_{n+1}|$

gebruik vervolgens de inductiehypothese en breng tenslotte alle termen weer
onder 1 sommatie (van 1 tot n+1).
Zie je het nu?

Bericht door **op=op** » 11 okt 2010, 08:31

of zo:
$b_i\le |b_i|$ en $-b_i\le |b_i|$ voor alle i.
Dus
$\sum_{i=1}^n b_i \le \sum_{i=1}^n |b_i|$ en $-\sum_{i=1}^n b_i \le \sum_{i=1}^n |b_i|$
ofwel
$\left|\sum_{i=1}^n b_i\right| \le \sum_{i=1}^n |b_i|$

Wiskundeforum

bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid

bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid

Re: bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid

Re: bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid

Re: bewijs herhaalde driehoeksongelijkheid