Wiskundeforum

Ik heb volgende opgave: vind alle oplossingen op het interval :

sin x + cos x = 1
beide zijden kwadrateren geeft:








dan zijn dit de oplossingen voor x (volgens mij):


Mijn boek geeft echter enkel :

Wat je hebt gedaan is kwadrateren.

x = 1 heeft maar 1 oplossing, x^2 = 1^2 heeft er twee.

Controleer je andere antwoorden nog eens goed.

wil zeggen:

de tweede oplossing (de eerste staat in mijn openingspost) is dus:






Maar -2 zit niet in het bereik van de sin-functie, dus dit is geen oplossing.

Ik heb intussen een reden gevonden waarom x niet gelijk kan zijn aan pi of 3pi/2:

aangezien sin x + cos x = 1, moeten zowel sin x als cos x positief zijn. Als bijvoorbeeld sin x een negatieve waarde zou hebben, dan zou cos x groter moeten zijn dan 1 om aan de vergelijking te kunnen voldoen. Hetzelfde geldt voor cos x.
Als x = pi dan is cos x = -1 en dan kan de vergelijking niet opgelost worden.

Als x = 3pi/2 is sin x negatief.

Dus deze beide oplossingen zijn uitgesloten.

Een andere aanpak:
Vermenigvuldig beide leden met :
.
Dan is .

idefix schreef:

Dit is onzinnig om op te schrijven! Waarom?

sin x + cos x = 1
beide zijden kwadrateren geeft:






Dan is of .

Dus of

SafeX schreef:

idefix schreef:

Dit is onzinnig om op te schrijven! Waarom?

Inderdaad, waar waren mijn gedachten? x² kan nooit -1 zijn (in de reële getallen)
Het had moeten zijn:



En dan is de tweede oplossing:

Ok.

De oplossing van is direkt af te lezen uit de goniometrische cirkel,

immers, de kortste afstand tussen 2 punten is een rechte lijn.