Extrema van functies van twee variabelen

[Fraxter]

Beste iedereen,

Al enige tijd ben ik aan het stoeien met een opgave waarin ik een stationair punt van f moet uitrekenen. Daarna moet ik bepalen of het een minimum, maximum of zadelpunt is. De volgende functie is gegeven:

f(x,y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 4x - 10y - 4

Eerste heb ik de fx(x,y) bepaald en de fy(x,y):
fx(x,y) = -2x + 2y - 4
fy(x,y) = 2x - 4y -10

Nu zou je het stationair punt moeten berekenen maar hierin loop ik vast. Kan iemand mij vertellen hoe ik hier de stationair punten bepaal?

Eveneens vind ik het vreemd dat de mijn uitkomsten van fx, fxx, fxy, fy, fyy, fyx het volgende zijn:
fx(x,y) = -2x + 2y - 4
fxx(x,y) = -2
fxy(x,y) = 2

fy(x,y) = 2x - 4y -10
fyy(x,y) = -4
fyx(x,y) = 2

Hoe kan ik met deze waarden nu werken met de Hesse determinant.

Alvast bedankt voor de hulp!

[SafeX]

f(x,y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 4x - 10y - 4

Eerste heb ik de fx(x,y) bepaald en de fy(x,y):
fx(x,y) = -2x + 2y - 4
fy(x,y) = 2x - 4y -10

Wat moet er gelden in de stationnaire ptn: f_x(x,y)=0 en f_y(x,y)=0 Waarom?

Dat beteken hier het snijden van twee lijnen ... , wat is het probleem?

[Fraxter]

fx(x,y)=0 en fy(x,y)=0 Dat snap ik, maar hoe krijg ik deze op een correcte wijze op 0. Dan weet ik de waarde(n) voor X en Y. Dat is dan het stationair punt.

[SafeX]

Begin eens ... (dit is standaard)

[Fraxter]

fx(x,y) = -2x + 2y - 4 = 0
fy(x,y) = 2x - 4y -10 = 0

fx(x,y) = -2x + 2y = 4
fy(x,y) = 2x - 4y = 10
fnew = 2x - 2y = -4 <- fx maal -1
= 0 - 2y = 14 <- fy - fnew

2y = 14 dus y is 7.
-2x + 14 = 4 dus X is 5

X = 5 en Y = 7?

[SafeX]

fx(x,y) = -2x + 2y - 4 = 0
fy(x,y) = 2x - 4y -10 = 0

fx(x,y) = -2x + 2y = 4
fy(x,y) = 2x - 4y = 10

-x+y=2
x-2y=5

Wat is er gebeurt?
Wat levert optellen van deze verg op ...

[Fraxter]

De functies zijn door 2 gedeeld.

Volgens mij levert optellen Y = -7 op.

-x+y=2
x-2y=5
0 - y = 7

y = -7

[SafeX]

De functies zijn door 2 gedeeld.

Volgens mij levert optellen Y = -7 op.

-x+y=2
x-2y=5
0 - y = 7

y = -7

Mooi, wat is nu x? Waarom schrijf je (hoofdletter) Y=-7 en niet y=-7?

Wat volgt dan voor het stationaire punt?

[Fraxter]

Die hoofdletter heeft geen enkele toegevoegde waarde. Ik soms een beetje chaotisch met dit soort notaties.

Als we in de functie -x + y = 2 voor y = -7 invullen dan wordt x = -9
--9 + -7 = 2 ofwel 9 - 7 = 2.

Als we in de functie x - 2y = 5 voor y = -7 invullen dan wordt x = -9
-9 - 2*-7 = 5 ofwel -9 + 14 = 5

Dus y = -7 en x = -9

Echter geeft het antwoord (1,3) wat ik niet begrijp...

Daarna gaat de opgave verder omdat ik nu moet bepalen. Of het stationair punt een maximum, minimum of zadelpunt is. Hoe nu verder?

[SafeX]

Echter geeft het antwoord (1,3) wat ik niet begrijp...

Daarna gaat de opgave verder omdat ik nu moet bepalen. Of het stationair punt een maximum, minimum of zadelpunt is. Hoe nu verder?

Als dit antwoord zou moeten kloppen heb je te maken met een andere functie f(x,y), dus checken ...

Bereken eerst: f(-9,-7), dan f(x,-7) en f(-9,y), wat levert dit voor 'beeld' op?

[Fraxter]

Het gevonden antwoord van x = -9 en y = -7 klopt wel. Het opgegeven antwoord was verkeerd.

Oke verder:
f(x,y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 4x - 10y - 4

f(-9,-7) = --9^2 + 2*-9-7 - 2*-7^2 - 4*-9 - 10*-7 - 4
f(-9,-7) = 81 + 126 - 98 + 36 + 70 - 4 = 211

f(x,-7) = -x^2 + 2x-7 - 2-7^2 - 4x - 10-7 - 4
f(x,-7) = -x^2 - 14x - 98 - 4x + 70 - 4
f(x,-7) = -x^2 - 18x - 22

f(-9,y) = --9^2 + 2-9y - 2y^2 - 4-9 - 10y - 4
f(-9,y) = 81 - 18y - 2y^2 + 36 - 10y - 4
f(-9,y) = - 2y^2 - 28y + 113

Hier loop ik vast en wat bedoel je met 'beeld'. Hoef ik niet met fxx, fyy enzo te werken?

[SafeX]

Het gevonden antwoord van x = -9 en y = -7 klopt wel. Het opgegeven antwoord was verkeerd.

Oke verder:
f(x,y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 4x - 10y - 4

f(-9,-7) = --9^2 + 2*-9-7 - 2*-7^2 - 4*-9 - 10*-7 - 4

Niet goed! Je maakt een elementaire fout: als x=-5 wat is dan x^2 en wat is -x^2. Welke fout maak je?

f(x,-7) = -x^2 - 18x - 22
f(-9,y) = - 2y^2 - 28y + 113

Moet zijn:

f(x,-7) = -x^2 - 18x - 32

f(-9,y) = - 2y^2 - 28y -49, ga dat na.

Bij f(x,-7) zit je in een xz-vlak (met y=-7) dus evenwijdig aan 'officiele' xz-vlak (met y=0)
Maak een tekening! Wat voor kromme zie? Is er een max?

Behandel op dezelfde manier f(-9,y) ...

Vraag: kan je 'kwadraat afsplitsen'?

[Fraxter]

f(x,y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 4x - 10y - 4

f(-9,-7) = --9^2 + 2*-9-7 - 2*-7^2 - 4*-9 - 10*-7 - 4
f(-9,-7) = -81 + 126 - 98 + 36 + 70 - 4 = 49

f(x,-7) = -x^2 + 2x-7 - 2-7^2 - 4x - 10-7 - 4
f(x,-7) = -x^2 - 14x - 98 - 4x + 70 - 4
f(x,-7) = -x^2 - 18x - 32 <--- (-98 + 70 - 4 = 32)

f(-9,y) = --9^2 + 2-9y - 2y^2 - 4-9 - 10y - 4
f(-9,y) = - 81 - 18y - 2y^2 + 36 - 10y - 4
f(-9,y) = - 2y^2 - 28y + 49

Ik heb de kwadraten verbeterd, deze had ik inderdaad verkeerd ingevuld.

Ik heb geen idee hoe ik dit moet gaan tekenen. Loop nu helemaal vast.

[SafeX]

Maar je weet, hoop ik, wel wat voor kromme dit voorstelt: f(x,-7)=-x^2-18x- 32 ?

Ik had nog een vraag gesteld ...

[Fraxter]

f(x,-7)= -x^2 - 18x - 32 <- is een bergparabool dus ja er is een max

f(-9,y)= -2y^2 - 28y + 49 <- is een bergparabool

Kwadraat afsplitsen van de bovenstaande functies?

f(-9,y)= -2y^2 - 28y + 49
f(-9,y)= -2 (y^2 + 14y) + 49
f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 147

f(x,-7)= -x^2 - 18x - 32
f(x,-7)= -(x + 9)^2 + 49