Ad blocker gedetecteerd: Onze website wordt mogelijk gemaakt door online advertenties weer te geven aan onze bezoekers. Overweeg alstublieft ons te steunen door uw advertentieblokkering op onze website uit te schakelen. of een lidmaatschap aan te kopen
Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 21:43
Ik wil volgende opgave oplossen:
Schat het aantal nulpunten van de veelterm
=z^{10}+10z+9)
binnen de schijf
)
.
Het is de bedoeling dat we daarvoor de stelling van Rouché gebruiken.
Normaal gezien heb ik niet zo'n probleem met dit soort opgaves. Het komt er meestal gewoon op aan de dominerende term van
op
te zoeken. Nu heb ik bij deze opgave al vanalles geprobeerd, maar de coëfficiënten hier zijn zo gekozen dat dat hier niet meteen lijkt te lukken...
Kan iemand helpen aub?
-
wnvl
- Vergevorderde
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 29 apr 2013, 22:12
Ik denk dat je moet gebruiken dat op de eenheidscirkel geldt
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 22:23
Moet je voor Rouché geen strikte ongelijkheid op de eenheidscirkel kunnen aantonen?
Voor
geldt immers gelijkheid..
-
SafeX
- Moderator
- Berichten: 14278
- Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53
Bericht
door SafeX » 29 apr 2013, 22:25
Bekijk z^10+10z+9 en z^10 op D
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 22:50
...zo kom ik er helemaal niet...
Even voor het goede begrip:
De versie van de stelling van Rouché die ik gebruik, is de volgende:
Zij
analytische functies op een open gebied
.
Als
-g(z)|<|g(z)|)
op
, dan is het aantal nulpunten van
binnen
gelijk aan het aantal nulpunten van
binnen
.
Eventueel kunnen we ook de zwakkere eis dat
-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|)
op
gebruiken.
Stel nu
en
=z^{10})
.
Dan is
-g(z)| \geq 19)
en
|=1)
op
)
.
Doe ik iets fout?
-
SafeX
- Moderator
- Berichten: 14278
- Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53
Bericht
door SafeX » 29 apr 2013, 23:06
eva_V schreef:
Dan is
en
op
.
-g(z)| \leq 19)
op D
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 23:11
Oja, natuurlijk, dat was een typfoutje.
Maar dan zie ik niet meteen wat ik daarmee ben?...
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 23:13
wnvl schreef:Buiten -1 liggen de nulpunten buiten de eenheidscirkel.
Dus dan zou ik als functie
eigenlijk een functie moeten vinden die geen nulpunten heeft binnen de eenheidscirkel, toch?
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 23:33
wnvl schreef:Buiten -1 liggen de nulpunten buiten de eenheidscirkel.
MAAR... Als -1 een nulpunt is van
, dan is de integraal
}{\frac{f'(z)}{f(z)}}dz)
niet eens gedefinieerd! Dan kunnen we de stelling van Rouché toch niet toepassen??...
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 29 apr 2013, 23:49
Als ik nu de factor
zou afzonderen zodat
=(z+1)h(z))
zou ik dan op de factor
)
Rouché mogen toepassen? Ja toch hé?
-
wnvl
- Vergevorderde
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 30 apr 2013, 00:04
eva_V schreef:Als ik nu de factor
zou afzonderen zodat
zou ik dan op de factor
Rouché mogen toepassen? Ja toch hé?
Ook niet voor de hand liggend
^2 (9-8 z+7 z^2-6 z^3+5 z^4-4 z^5+3 z^6-2 z^7+z^8))
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 30 apr 2013, 00:07
Inderdaad, ik stootte net ook op dit probleem
Ellende...
-
eva_V
- Vast lid
- Berichten: 32
- Lid geworden op: 20 mar 2013, 11:50
Bericht
door eva_V » 30 apr 2013, 11:16
Hoe zou deze opgave dan opgelost kunnen worden?
Eventueel zonder de stelling van Rouché misschien? Maar ik ken niet meteen een andere manier om op een makkelijke manier het aantal nulpunten te vinden...
-
SafeX
- Moderator
- Berichten: 14278
- Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53
Bericht
door SafeX » 30 apr 2013, 14:47
Kies f(z)= z^10+10z en g(z)=9 ...
