Oneindige getallen passen niet op de reële lijn als deze geordend is.

[BWG01]

Ooit wel eens gedacht dat oneindige getallen niet op de reële lijn passen als deze geordend is? Waar plaatsen we 1/3? Op 0,3 of 0,33 of 0,333 of 0,3333, of .... telkens als we het een plekje willen geven hebben we daar al getal staan. Het zelfde geldt voor π (pi) of andere oneindige getallen.
Aangezien we met een tientallig stelsel werken is elk getal te verkrijgen met z/10^n (z een element van integers en n element van natuurlijke getallen). Eenvoudig gezegd z/10^n doet alleen de komma van links naar rechts of van rechts naar links bewegen. Echter met z/10^n krijgen we nooit 1/3 maar wel de oneindige serie van 0,3 0,33 0,333 etc.

[arie]

Getallen zoals 1/3 zijn niet oneindig, zijn goed gedefinieerd, en hebben hun eigen plek op de getallenlijn.
Het probleem is dat hun representatie (= notatie) in het tientallig stelsel een oneindige vorm heeft.

Een verwant fenomeen:
1/3 = 0.333333333.... (enz.)
dus
3 * (1/3) = 0.999999999... (enz.)
maar we weten ook:
3 * (1/3) = 1,
dus:
1 = 0.999999999... (enz.)
Nu hebben we in het tientallig stelsel 2 representaties voor hetzelfde getal 1.

[BWG01]

Tja, en dat vindt ik dus het rare van wiskunde. Op een gegeven moment is besloten dat de wiskundige operatie "delen" als getal geïnterpreteerd mag worden, want 1/3 is eigenlijk de wiskundige operatie delen. Maar omdat het resultaat niet als exact getal genoteerd kan worden is de wiskundige operatie in dit geval 'gepromoveerd' tot getal. Met andere woorden, we hebben het tientallig stelsel uitgebreid met wiskundige operaties die tot getal zijn gepromoveerd om exacter te kunnen aangeven wat we bedoelen.