0 . x = 0 ?
0 . x = 0 ?
Ok .. misschien een domme vraag. En mischien niet het juiste forum (wist niet waar anders). Maar als sinds het tweede leerjaar zeggen ze tegen mij dat 0 maal een getal gelijk is aan 0. Vermits mijn lerare van de wetenschapsvakken en mijn leraar wiskunde mij continu zeggen dat ik alles niet zomaar moet aanvaarden (wat ik ook doe). Wil ik hier eens een bewijs van maar ik vind het niet. Is het misschien een axioma dat ik nooit heb gezien . of?
Re: 0 . x = 0 ?
Geen zorgen, dit is juist een erg goede vraag! Het gaat over de fundamenten van het rekenen, en we zouden toch wel een probleem hebben als er een x bestaat waarvoor dit niet geldt.
Afleiding gebruik makend van het begrip (unitaire) ring, waarin de volgende eigenschappen:
[1] (a+b)+c=a+(b+c)
[2] a+b=b+a
[3] 0+a=a+0=a
[4] voor alle a bestaat er een -a waarvoor geldt: a+(-a)=(-a)+a=0
[5] 1*a=a*1=a
[6] (a*b)*c=a*(b*c)
[7] a*(b+c)=a*b+a*c
[8] (a+b)*c=a*c+b*c
(zie voor meer info bijvoorbeeld http://enc.slider.com/Enc/Unitary_ring)
Bewijs 0*x=0:
0*x
=[3] 0*x+0
=[4] 0*x+(x+(-x))
=[1] (0*x+x)+(-x)
=[5] (0*x+1*x)+(-x)
=[8] (0+1)*x+(-x)
=[3] 1*x+(-x)
=[5] x+(-x)
=[4] 0
(met na het '='-teken tussen rechte haken steeds de eigenschap die we in die stap gebruiken)
NOOT: Merk op dat de verzameling natuurlijke getallen N = {0,1,2,3,...} geen ring is. Hierover kunnen we de Peano-rekenkunde gebruiken, waarin 0*x=0 wel tot de axioma's behoort: vermenigvuldiging is hierin namelijk gedefinieerd als:
[1] x*0 = 0
[2] x*Sy = x*y + x
(waarbij S de opvolgerfunctie is: S(x) = x+1)
zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_postulates
Afleiding gebruik makend van het begrip (unitaire) ring, waarin de volgende eigenschappen:
[1] (a+b)+c=a+(b+c)
[2] a+b=b+a
[3] 0+a=a+0=a
[4] voor alle a bestaat er een -a waarvoor geldt: a+(-a)=(-a)+a=0
[5] 1*a=a*1=a
[6] (a*b)*c=a*(b*c)
[7] a*(b+c)=a*b+a*c
[8] (a+b)*c=a*c+b*c
(zie voor meer info bijvoorbeeld http://enc.slider.com/Enc/Unitary_ring)
Bewijs 0*x=0:
0*x
=[3] 0*x+0
=[4] 0*x+(x+(-x))
=[1] (0*x+x)+(-x)
=[5] (0*x+1*x)+(-x)
=[8] (0+1)*x+(-x)
=[3] 1*x+(-x)
=[5] x+(-x)
=[4] 0
(met na het '='-teken tussen rechte haken steeds de eigenschap die we in die stap gebruiken)
NOOT: Merk op dat de verzameling natuurlijke getallen N = {0,1,2,3,...} geen ring is. Hierover kunnen we de Peano-rekenkunde gebruiken, waarin 0*x=0 wel tot de axioma's behoort: vermenigvuldiging is hierin namelijk gedefinieerd als:
[1] x*0 = 0
[2] x*Sy = x*y + x
(waarbij S de opvolgerfunctie is: S(x) = x+1)
zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_postulates
Re: 0 . x = 0 ?
Bedankt (:
Na de stapjes eens grondig te hebben bekeken zie ik het nu (:. Zou er zelf nooit zijn op gekomen.
Mvg.
Vincent
Na de stapjes eens grondig te hebben bekeken zie ik het nu (:. Zou er zelf nooit zijn op gekomen.
Mvg.
Vincent