Machten oplossen met een formule

[Flor Verberckmoes]

Onlangs ondervond ik dat er een patroon is in alle machten met exponent ². Bij elk van die soort kwadraten komt er dus 2 bij bij wat er de vorige keer was bijgeteld. Dit klinkt misschien ingewikkeld, maar hier is een voorbeeld:

10²=100
11²=121
12²=144

Van 10² naar 11² is +21. Van 11² naar 12² is er +23 gebeurd. Bij dat laatste getal kwam er dus 2 bij!
Hiervoor heb ik een formule opgesteld.

Helaas is er een probleem waardoor ik geen afbeeldingen kan invoegen, dus kopieer deze link voor een foto van de formule:
C:\Users\flor.verberckmoes\OneDrive - Sint-Jozef-Klein-Seminarie\Afbeeldingen\Schermopnamen\Formule eigenschap machten 1.png

[arie]

Je link werkt helaas niet...
Je kan je plaatjes ook op het web uploaden,
bijvoorbeeld bij https://imgbb.com/
Je krijgt dan een link die je op Wiskundeforum kan plaatsen.
(Hiermee heb ik nog nooit problemen gehad.)

[Flor Verberckmoes]

Bedankt arie! Deze link zou moeten werken:
https://ibb.co/bdjtRHd

[arie]

Je schrijft:

\(\displaystyle n^2=(n-1)^2+\sum_{k=1}^{n-(n-1)}(2(n-1)+1+2(k-1))\)

(1) Lukt het je om eerst de bovengrens van de sommatie, en vervolgens de hele sommatie te vereenvoudigen?

(2) Kan je het eindresultaat van die vereenvoudiging verklaren via het merkwaardig product \((a-b)^2=...\) ?
(hint: kies \(a=n\) en \(b=1\))

(3) Kan je de formule ook algemener maken: \(n^2 = (n-m)^2 + \sum ...\) ?
voorbeeld: \(8^2 = (8-5)^2 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15\)

[Flor Verberckmoes]

Is dat een oefening of een test om te zien of het wel echt is? Want ik kan je zeggen dat het een echte, werkende formule is.

[arie]

Je geeft:

\(\displaystyle n^2=(n-1)^2+\sum_{k=1}^{n-(n-1)}(2(n-1)+1+2(k-1))\)

De bovengrens van de sommatie is \(n-(n-1) = n-n+1 = 1\), dat geeft:

\(\displaystyle n^2=(n-1)^2+\sum_{k=1}^1(2(n-1)+1+2(k-1))\)

maar dit is de sommatie met alleen \(k=1\), en dat geeft:

\(\displaystyle n^2=(n-1)^2+(2(n-1)+1+2(1-1))\)

ofwel:

\(\displaystyle n^2=(n-1)^2+2n-1\)

Maar dit wisten we al: het volgt direct uit het merkwaardig product \((n-1)^2 = n^2-2n+1\)


Ik vermoed daarom dat je de formule onder punt (3) van mijn vorige post zoekt: het algemene verschil van 2 kwadraten, geschreven als een sommatie:

\(n^2 = (n-m)^2 + \sum ...\)

[Flor Verberckmoes]

Dat is waar! Trouwens, als iemand die dit bericht ziet eens een lijst zou willen maken van 100 machten, opgelost met deze formule, zou dat een tof bewijs zijn dat het werkt. (De "medebedenker" van deze formule heeft dat al gedaan, maar het zou toffer zijn als een andere vrijwilliger dat eens doet.)

[arie]

... een lijst zou willen maken van 100 machten, opgelost met deze formule, zou dat een tof bewijs zijn dat het werkt...

Als een formule werkt voor 100 getallen is dat GEEN bewijs dat die formule werkt voor ALLE getallen.
(omgekeerd werkt het wel: je hoeft maar 1 getal te vinden waarvoor de formule NIET werkt (= een tegenvoorbeeld), en daarna mag je zeggen dat de formule NIET werkt voor alle getallen).

Een bekend voorbeeld is het vermoeden van Collatz:
neem een begingetal n, en herhaal:
- als n even is, deel n door 2 (n wordt n/2)
- als n oneven is, vermenigvuldig n dan met 3 en tel er 1 bij op (n wordt 3n+1).
waarna je vermoedelijk altijd uitkomt bij 1.

Dit vermoeden is getest voor alle getallen tot \(2^{68} = 295147905179352825856\), maar nog steeds is dit geen bewijs dat dit vermoeden juist is voor ALLE getallen.
(zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Vermoeden_van_Collatz)


Terug naar het bewijs van jouw formule:

Bewijs eerst dat
\(\displaystyle n^2=\sum_{k=1}^n (2k-1)\)
(bv via een bewijs met volledige inductie)
Dan geldt ook voor iedere \(1 \le i \le n\) dat
\(\displaystyle i^2=\sum_{k=1}^i (2k-1)\)
en moet ook gelden dat:
\(\displaystyle n^2= \sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=1}^i (2k-1)+ \sum_{k=i+1}^n (2k-1) = i^2 +\sum_{k=i+1}^n (2k-1)\)

Vervang tenslotte \(i\) door \(n-m\)

[Flor Verberckmoes]

Dat is waar, daar zouden we eens naar moeten zoeken. Bedankt voor de inlichting!

[Flor Verberckmoes]

De formule is officieel uitgetest, hij werkt bij alle natuurlijke getallen (met natuurlijke exponenten).