oneindig lange formules
oneindig lange formules
Het zou wel eens kunnen dat je een oneindig lange formule tegenkomt in een wiskunde-oefening. Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.
vb1:
Je ziet onmiddellijk dat
Die vergelijking kun je gemakkelijk oplossen en je krijgt of
vb2:
Je vindt dat
Die kun je ook oplossen en je vindt dezelfde oplossingen als hierboven.
vb3:
Met variabelen kan het ook:
Je vindt:
of misschien beter te zien: (een meer algemene weg)
vb4:
Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar kijk hoe het is opgebouwd:
vb1:
Je ziet onmiddellijk dat
Die vergelijking kun je gemakkelijk oplossen en je krijgt of
vb2:
Je vindt dat
Die kun je ook oplossen en je vindt dezelfde oplossingen als hierboven.
vb3:
Met variabelen kan het ook:
Je vindt:
of misschien beter te zien: (een meer algemene weg)
vb4:
Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar kijk hoe het is opgebouwd:
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Voorbeeld 1).
Dus x >= 0 toch?
Dus x >= 0 toch?
Heeft dit je al geholpen voor het vermoeden van Collatz? (Het kan helpen het vermoeden anders te omschrijven dan tot nu toe).Barto schreef:Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: oneindig lange formules
Als je van dit soort formules houdt, moet je onderstaand product eens proberen uit te rekenen.
De formule convergeert in elk geval.
De formule convergeert in elk geval.
Re: oneindig lange formules
als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?
de tweede:
dus met inductie:
en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1
dus voor de eerste: teller<noemer?
de tweede:
dus met inductie:
en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
hmm jaDavid schreef:Voorbeeld 1).
Dus x >= 0 toch?
uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is een foute interpretatie
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Niet slecht geprobeerd, maar als k naar gaat, evolueert naar 2. De factor evolueert dus in de limiet naar 1, daarom mag je zomaar niet concluderen dat het product divergeert naar 0.barto schreef:als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?
de tweede:
dus met inductie:
en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1
De oplossing is niet zo eenvoudig te vinden. Dit product blijkt heel verrassend te convergeren naar .
Voor meer info over dit product, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula
Re: oneindig lange formules
toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:
hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:
hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Ik vind het niet verkeerd om x^2 = x + 1 te gebruiken. Je hebt een techniek geleerd om die vergelijking op te lossen, en die gebruik je om x te vinden zodat .barto schreef:hmm jaDavid schreef:Voorbeeld 1).
Dus x >= 0 toch?
uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is een foute interpretatie
Maar dan moet je stellen x >= 0 voor het kwadrateren. Als je je oplossingen controleert zit je helemaal goed. Voor wordt doorgaans (altijd) de positieve wortel genomen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: oneindig lange formules
Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.barto schreef:toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:
hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:
Re: oneindig lange formules
ik zou toch zeggen dat
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Welke laatste factor ...wnvl schreef: Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.
Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials
Re: oneindig lange formules
Ik heb het hier over de laatste factor van een oneindig productSafeX schreef:Welke laatste factor ...wnvl schreef: Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.
is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor convergentie.
ja, misschien moeten we een tutorial over convergentiecriteria van oneindige producten startenSafeX schreef: Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials
Re: oneindig lange formules
Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...
Re: oneindig lange formules
Laatste term is inderdaad slecht uitgedrukt, bedoel , maar dat zal iedereen wel begrepen hebben zeker.SafeX schreef:Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...
Re: oneindig lange formules
Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
wnvl schreef: