Vraagstuk kansberekening

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
Yachi
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 17 aug 2022, 17:27

Vraagstuk kansberekening

Bericht door Yachi » 17 aug 2022, 17:35

Goeie dag!

Er is een examenvraag voorbeeld zonder een antwoord voor ons, maar ik kom er niet zo erg aan uit.

Zou iemand misschien mij kunnen helpen met deze vraagtstuk? Of misschien een paar tips geven om mij een richting te geven van hoe ik op weg moet?

Alvast heel erg bedankt!

a) In een emmer zitten 15 rode ballen en 15 blauwe ballen, elk genummerd met een geheel getal tussen 1 en 100. De 30 ballen hebben verschillende nummers. Een koppel ballen bestaat uit een rode bal en een blauwe bal. Toon aan dat je steeds twee koppels kan vinden die dezelfde som hebben.

b) Laat zien dat deze eigenschap niet noodzakelijk geldt als je 13 rode en 13 blauwe ballen hebt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3749
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door arie » 18 aug 2022, 09:15

Yachi schreef: ... elk genummerd met een geheel getal tussen 1 en 100....
Neem aan dat dit inclusief de grenzen 1 en 100 is, dus de getallen uit de verzameling V ={1, 2, 3, ..., 99, 100} komen (dus niet van 2 t/m 99 maar van 1 t/m 100).

a) In een emmer zitten 15 rode ballen en 15 blauwe ballen, elk genummerd met een geheel getal tussen 1 en 100. De 30 ballen hebben verschillende nummers. Een koppel ballen bestaat uit een rode bal en een blauwe bal. Toon aan dat je steeds twee koppels kan vinden die dezelfde som hebben.
We moeten aantonen dat die 2 koppels er altijd zijn, dus voor ALLE mogelijke keuzes van de getallen op de rode en blauwe ballen.
Ofwel:
We moeten aantonen dat er GEEN ENKELE keuze van de getallen op de rode en blauwe ballen mogelijk is waarbij alle koppels een verschillende uitkomst geven als we hun getallen optellen.

1) als we 15 rode getallen en 15 blauwe getallen hebben, en hun som moet steeds verschillend zijn, hoeveel verschillende uitkomsten hebben we dan minstens nodig?

2) De kleinste som die we met twee verschillende getallen uit V kunnen maken = 1 + 2 = 3 (met (1 rood en 2 blauw) of (1 blauw en 2 rood)).
De grootste som die we met twee verschillende getallen uit V kunnen maken = 99 + 100 = 199 (met (99 rood en 100 blauw) of (99 blauw en 100 rood)).
De sommen (= uitkomsten van de sommen) lopen dus van 3 t/m 199.
Hoeveel verschillende uitkomsten van de som van 2 getallen uit V zijn er dus mogelijk?
Zijn dit er genoeg voor onze eisen die we onder punt 1) gesteld hebben?

b) Laat zien dat deze eigenschap niet noodzakelijk geldt als je 13 rode en 13 blauwe ballen hebt.
We moeten aantonen dat er nu WEL TENMINSTE ÉÉN keuze van de getallen op de rode en blauwe ballen bestaat waarbij alle koppels een verschillende uitkomst geven als we hun getallen optellen.
Ofwel:
We moeten een voorbeeld zien te vinden waarbij alle som-uitkomsten verschillend zijn.

Het meest voor de hand liggend is om alle mogelijke uitkomsten 3, 4, 5, 6, etc achtereenvolgens te construeren:
- uitkomst 3 kunnen we krijgen met 1=blauw en 2=rood,
- uitkomst 4 = 1 + 3: 1=blauw hebben we al, dan moet 3=rood zijn
- uitkomst 5 = 1 + 4: 1=blauw hebben we al, dan moet 4=rood zijn,
...
- uitkomst 15 = 1 + 14: 1=blauw hebben we al, dan moet 14=rood zijn
Hierna kunnen we niet meer verder, want we hebben onze 13 rode balgetallen gekozen: 2 t/m 14
Het kleinst mogelijke volgende blauwe getal is dan 15 (alle getallen moeten verschillend zijn, en 1 t/m 14 zijn al bezet).
De kleinst mogelijke volgende som is dus 15 + 2 = 17 (uitkomst 16 kunnen we dus niet bereiken):
- uitkomst 17 = 15(blauw) + 2(rood)
Als we bal 15(blauw) en alle rode ballen (2 t/m 14) gebruiken ontaan uitkomsten 17 t/m 29
Voor de derde blauwe bal kiezen we nummer 28:
als we bal 28(blauw) en alle rode ballen (2 t/m 14) gebruiken ontaan uitkomsten 30 t/m 42
(merk op: getal 28 hebben we nog niet gebruikt, dus dit getal is beschikbaar voor de volgende blauwe bal)
Voor de vierde blauwe bal kiezen we nummer 41, etc.

Zo ontstaat de uitkomstentabel:

Afbeelding

Wat is nu de grootste uitkomst die we nodig hebben?
Ofwel: welk getal komt helemaal rechtsonder in de tabel te staan?
Is dit \(\le\) aan het maximum 199?
Wat concluderen we hieruit?

Plaats reactie