kansberekening met dobbelstenen

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
LaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 12 okt 2022, 21:33

kansberekening met dobbelstenen

Bericht door LaLa » 14 nov 2022, 17:00

Piet heeft twee dobbelstenen op zolder met een eigenaardige eigenschap: het zijn geen standaarddobbelstenen (waarop elk natuurlijk getal tussen 1 en 6 exact een keer staat), maar op beide staan er zes
bepaalde (niet noodzakelijk verschillende) niet-nul natuurlijke getallen. Piet merkt op dat de kansverdeling
van de som van de ogen van beide dobbelstenen precies dezelfde is als deze van twee standaarddobbelstenen.
Zo is bv. de kans om een som van 12 ogen te gooien in beide gevallen gelijk aan 1/36 .
Wat zijn alle mogelijke paren dobbelstenen die aan de bovenstaande beschrijving voldoen? Geef ze allemaal en leg uit waarom er geen andere paren kunnen zijn.
Is er iemand die hier een antwoord op heeft,het is niet simpel kan ik al zeggen!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3764
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: kansberekening met dobbelstenen

Bericht door arie » 17 nov 2022, 11:37

Verdeling van de ogensom bij een worp met 2 standaard-dobbelstenen:

Code: Selecteer alles

 ogensom | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---------+---+---+---+---+---+---+---+---+----+----+----+
  aantal | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 |  3 |  2 |  1 |
Het aantal mogelijkheden per ogensom moet steeds identiek zijn aan die van de standaard-dobbelsteen:

Ogensom = 2:
Er moet 1 mogelijkheid zijn om 2 te gooien. 0+2 kan niet, er zijn geen blanco zijden op de dobbelstenen, blijft over 1+1, en die moet precies 1 keer voorkomen. Dit geeft voor de ogen op de dobbelstenen { 1, ?, ?, ?, ?, ? } en { 1, ?, ?, ?, ?, ? } (de vraagtekens staan voor de nog onbekende ogenaantallen).

Ogensom = 3:
We mogen nu geen enen meer gebruiken, voor de 2 drieen hebben we 2 tweeen nodig (0+3 ogen is verboden), Dat geeft:
A: { 1, 2, ?, ?, ?, ? } en { 1, 2, ?, ?, ?, ? }
of
B: { 1, 2, 2, ?, ?, ? } en { 1, ?, ?, ?, ?, ? }

Ogensom = 4:
In geval A hierboven hebben we al 1 mogelijkheid om 4 te gooien: 2+2=4, we hebben dus nog 2 mogelijkheden meer nodig om op 4 uit te komen, en dit kan alleen met toevoeging van 2 drieen (1+3=4). Dit geeft 2 mogelijkheden voor onze dobbelstenen:
A1: { 1, 2, 3, ?, ?, ? } en { 1, 2, 3, ?, ?, ? }
of
A2: { 1, 2, 3, 3, ?, ? } en { 1, 2, ?, ?, ?, ? }
In geval B hierboven hebben we nog geen mogelijkheid om 4 te gooien, we hebben dus nog 3 drieen nodig om uitkomst
1+3=4 te kunnen krijgen. Dat geeft 4 mogelijkheden voor onze dobbelstenen:
B1: { 1, 2, 2, 3, 3, 3 } en { 1, ?, ?, ?, ?, ? }
of
B2: { 1, 2, 2, 3, 3, ? } en { 1, 3, ?, ?, ?, ? }
of
B3: { 1, 2, 2, 3, ?, ? } en { 1, 3, 3, ?, ?, ? }
of
B4: { 1, 2, 2, ?, ?, ? } en { 1, 3, 3, 3, ?, ? }

En voor elke mogelijkheid zo doorgaand voor de steeds hogere ogensommen, totdat we ofwel vastlopen ofwel oplossingen vinden.

Ik kom uiteindelijk naast de standaard-dobbelstenen
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } en { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
uit op:
{ 1, 2, 2, 3, 3, 4 } en { 1, 3, 4, 5, 6, 8 }

Mochten je dobbelstenen wel 1 of meer blanco zijden hebben, dan hebben we ook nog:
{ 0, 1, 1, 2, 2, 3 } en { 2, 4, 5, 6, 7, 9 }
of
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } en { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
of
{ 0, 2, 3, 4, 5, 7 } en { 2, 3, 3, 4, 4, 5 }
(merk op: deze 3 oplossingen zijn precies de oplossingen zonder nul-ogen-zijden, waarbij van alle zijden van de ene dobbelsteen 1 oog is afgetrokken en bij alle zijden van de andere dobbelsteen 1 oog is opgeteld)

LaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 12 okt 2022, 21:33

Re: kansberekening met dobbelstenen

Bericht door LaLa » 17 nov 2022, 20:46

arie weet je soms ook waarom er geen andere paren meer kunnen zijn want je hebt als uitkomst maar 1 paar gegeven of is er maar 1 paar dat aan deze voorwaarde voldoet. Echt knap dat je dit al gevonden hebt!!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3764
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: kansberekening met dobbelstenen

Bericht door arie » 18 nov 2022, 18:20

We zijn op zoek naar 2 dobbelstenen met deze verdeling van hun ogensommen:

Code: Selecteer alles

ogensom: [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12]
aantal:  [ 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

Onderaan in deze post staat de volledige zoekboom.

Notatie:
Dobbelsteen = multiset (= verzameling waarin de elementen meerdere malen mogen voorkomen) van 6 zijden.
De 6 zijden van elk van de 2 dobbelstenen staan tussen accolades, waarbij
- een getal = het aantal ogen op een zijde
- een vraagteken = het aantal ogen op de betreffende zijde is nog niet bekend.
Daarna volgt een pijl en tenslotte de verdeling (tot zover bekend) tussen rechte haken.

Voorbeeld:
Met dobbelstenen {1,2,?,?,?,?} en {1,2,?,?,?,?} kunnen we (tot nu toe) deze ogensommen gooien:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
Dit is 1 mogelijkheid voor 2, 2 mogelijkheden voor 3 en 1 mogelijkheid voor 4,
ofwel: we hebben tot nu toe deze verdeling: [0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Zoekstrategie:
We mogen geen nul gebruiken, dus is er slechts 1 manier om ogensom 2 te krijgen: precies één 1 op elke dobbelsteen:
{1,?,?,?,?,?} en {1,?,?,?,?,?} met verdeling [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Meer enen mogen we vanaf nu niet gebruiken, anders krijgen we te veel tweeën in onze ogensomverdeling.
Dus voor ogensom 3 mogen we alleen zijden met 2 ogen introduceren (via 2 + 1 krijgen we ogensom 3).
Ogensom 3 moeten we op 2 mogelijkheden kunnen krijgen, op dit moment hebben we hiervoor nul mogelijkheden (zie de verdeling tot nu toe), dus moeten er 2 - 0 = 2 tweeën geintroduceerd worden. Dit kan op 3 manieren:
{ 1, 2, 2, ?, ?, ? } en { 1, ?, ?, ?, ?, ? }
of
{ 1, 2, ?, ?, ?, ? } en { 1, 2, ?, ?, ?, ? }
of
{ 1, ?, ?, ?, ?, ? } en { 1, 2, 2, ?, ?, ? }
waarbij de laatste hetzelfde resultaat geeft als de eerste, dus hoeven we alleen door te gaan met:
{ 1, 2, 2, ?, ?, ? } en { 1, ?, ?, ?, ?, ? }
en
{ 1, 2, ?, ?, ?, ? } en { 1, 2, ?, ?, ?, ? }
In beide gevallen mogen we nu ook niet meer tweeën gebruiken, anders krijgen we te veel drieën in onze ogensomverdeling.
Daarom moeten we verder met zijden met 3 ogen om ogensom 4 te krijgen.
etc. etc.
Dit blijven we herhalen totdat we:
- ofwel vastlopen (bv. omdat een bepaalde ogensom meer mogelijkheden krijgt dan zijn aantal in de verdeling met de standaard dobbelstenen)
- ofwel een oplossing vinden.

Code: Selecteer alles

{1,?,?,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
      2 zijden met 2 ogen nodig voor som=3:
      {1,2,2,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
            3 zijden met 3 ogen nodig voor som=4:
            {1,2,2,3,3,3} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0]
                  4 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
                  {1,2,2,3,3,3} {1,4,4,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,8,12,0,0,0,0,0]
                  = fout in verdeling
            {1,2,2,3,3,?} {1,3,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,2,0,0,0,0,0,0]
                  2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
                  {1,2,2,3,3,4} {1,3,4,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,4,3,1,0,0,0,0]
                        1 zijde met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,3,1,0,0,0]
                              1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,6,?} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,3,1,0,0]
                                    1 zijde met 8 ogen nodig voor som=9:
                                    {1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,6,8} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]
                                    OPLOSSING GEVONDEN
                  {1,2,2,3,3,?} {1,3,4,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,6,4,0,0,0,0,0]
                  = fout in verdeling
            {1,2,2,3,?,?} {1,3,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
                  3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                  {1,2,2,3,5,5} {1,3,3,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,2,5,0,2,0,0]
                        4 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                        onvoldoende vrije zijden
                  {1,2,2,3,5,?} {1,3,3,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,4,0,2,0,0]
                        2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                        {1,2,2,3,5,6} {1,3,3,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,3,2,3,1]
                        = fout in verdeling
                  {1,2,2,3,?,?} {1,3,3,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,3,0,0,0,0]
                        2 zijden met 7 ogen nodig voor som=8:
                        {1,2,2,3,7,7} {1,3,3,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,0,4,0,6]
                        = fout in verdeling
            {1,2,2,?,?,?} {1,3,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,6,0,0,0,0,0,0,0]
            = fout in verdeling
      {1,2,?,?,?,?} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0]
            2 zijden met 3 ogen nodig voor som=4:
            {1,2,3,3,?,?} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,0,0,0,0,0,0,0]
                  2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
                  {1,2,3,3,4,4} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,3,4,4} {1,2,5,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,3,6,6,0,0,0]
                        = fout in verdeling
                  {1,2,3,3,4,?} {1,2,4,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,2,1,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,3,4,5} {1,2,4,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,5,3,2,0,0]
                              1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,3,4,5} {1,2,4,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,5,3,1,0]
                              = fout in verdeling
                        {1,2,3,3,4,?} {1,2,4,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,5,7,3,0,0,0]
                        = fout in verdeling
                  {1,2,3,3,?,?} {1,2,4,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,4,0,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,3,5,5} {1,2,4,4,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,7,2,4,2,0,0]
                        = fout in verdeling
                        {1,2,3,3,5,?} {1,2,4,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,7,4,2,2,0,0]
                        = fout in verdeling
            {1,2,3,?,?,?} {1,2,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0]
                  2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
                  {1,2,3,4,4,?} {1,2,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,0,0,0,0,0]
                        2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,4,4,5} {1,2,3,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,2,1,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,4,4,5} {1,2,3,5,6,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,4,5,2,0]
                              = fout in verdeling
                        {1,2,3,4,4,?} {1,2,3,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,4,0,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,4,4,6} {1,2,3,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,6,2,2,1]
                              = fout in verdeling
                  {1,2,3,4,?,?} {1,2,3,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,0,0]
                        2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,4,5,5} {1,2,3,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,0,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,4,5,5} {1,2,3,4,6,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,2,4,0]
                              = fout in verdeling
                        {1,2,3,4,5,?} {1,2,3,4,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]
                              OPLOSSING GEVONDEN
                        {1,2,3,4,?,?} {1,2,3,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,0,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,4,6,6} {1,2,3,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,2,4,0]
                              = fout in verdeling
                  {1,2,3,?,?,?} {1,2,3,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,0,0,0,0,0]
                        2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,3,5,5,?} {1,2,3,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,4,0,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,5,5,6} {1,2,3,4,4,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,6,2,2,1]
                              = fout in verdeling
                        {1,2,3,5,?,?} {1,2,3,4,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,2,1,0,0]
                              2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,3,5,6,6} {1,2,3,4,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,4,5,2,0]
                              = fout in verdeling
            {1,2,?,?,?,?} {1,2,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,2,0,0,0,0,0,0,0]
                  2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
                  {1,2,4,4,?,?} {1,2,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,4,0,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,4,4,5,5} {1,2,3,3,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,7,4,2,2,0,0]
                        = fout in verdeling
                        {1,2,4,4,5,?} {1,2,3,3,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,7,2,4,2,0,0]
                        = fout in verdeling
                  {1,2,4,?,?,?} {1,2,3,3,4,?} => [0,0,1,2,3,4,2,2,1,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,4,5,5,5} {1,2,3,3,4,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,7,3,0,0,0]
                        = fout in verdeling
                        {1,2,4,5,5,?} {1,2,3,3,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,5,5,3,2,0,0]
                              1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
                              {1,2,4,5,5,6} {1,2,3,3,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,5,3,1,0]
                              = fout in verdeling
                  {1,2,?,?,?,?} {1,2,3,3,4,4} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
                        3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
                        {1,2,5,5,5,?} {1,2,3,3,4,4} => [0,0,1,2,3,4,5,3,6,6,0,0,0]
                        = fout in verdeling
      {1,?,?,?,?,?} {1,2,2,?,?,?} => [0,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
      dit is hetzelfde als {1,2,2,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} wat we hierboven al hebben uitgewerkt.
Zo vind ik alleen dit paar als oplossing:
{1, 2, 2, 3, 3, 4} en {1, 3, 4, 5, 6, 8}

Plaats reactie