Optimale indeling tafels bij kaartspel

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
Helena109
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 apr 2011, 21:06

Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door Helena109 » 18 apr 2011, 21:25

Dag wiskundeforumleden,

Mijn vader en ik hebben een vraag waar we niet uitkomen. Ik heb vroeger behoorlijk uitvoerig statistiek gehad, maar ben de sociale richting opgegaan en ben het he-le-maal kwijt ;)

De vraag is als volgt:

Je hebt 16 bridgespelers (geen idee waarom, maar er zijn mensen die dat leuk vinden. Zélfs 16 ;)

Zij spelen aan 4 tafels, dus met 4 personen steeds aan een tafeltje.

Hoeveel speelrondes moet je minimaal spelen zodat íedereen tenminste 1x met íeder ander aan een (willekeurige) tafel heeft gezeten? Met zo min mogelijk 'dubbelingen' (dat je 2x of vaker dezelfde speler aan je tafeltje hebt)? (Het lijkt mij überhaupt onmogelijk dat je iedereen slechts 1x tegenkomt, in zo'n grote groep, en met 4 'subgroepjes').

Mochten jullie kunnen helpen - bridgeclub Westfriesland-Noord is jullie heel dankbaar :-)

Hartelijke groet,
Ellen

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3862
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door arie » 19 apr 2011, 11:33

Elke speler zit per ronde met 3 andere spelers aan tafel, omdat er 15 andere spelers zijn, zijn er dus minimaal 15/3=5 speelrondes nodig voordat je met alle andere spelers aan tafel gezeten hebt.
En deze minimum-oplossing is haalbaar.
Nummer de spelers 1 t/m 16, dan heb je bijvoorbeeld het volgende schema dat voldoet:

ronde 1:
tafel A: 1 2 3 4
tafel B: 5 6 7 8
tafel C: 9 10 11 12
tafel D: 13 14 15 16

ronde 2:
tafel A: 1 5 9 13
tafel B: 2 6 10 14
tafel C: 3 7 11 15
tafel D: 4 8 12 16

ronde 3:
tafel A: 1 6 11 16
tafel B: 2 5 12 15
tafel C: 3 8 9 14
tafel D: 4 7 10 13

ronde 4:
tafel A: 1 7 12 14
tafel B: 2 8 11 13
tafel C: 3 5 10 16
tafel D: 4 6 9 15

ronde 5:
tafel A: 1 8 10 15
tafel B: 2 7 9 16
tafel C: 3 6 12 13
tafel D: 4 5 11 14

Is dit wat je bedoelt?

Helena109
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 apr 2011, 21:06

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door Helena109 » 20 apr 2011, 12:07

Dag Arie,

Heel hartelijk dank voor je antwoord!

Dat was ook waar ik aan dacht. Echter, ik kreeg het vervolgens met geen mogelijkheid 'uitgetekend'. We liepen steeds vast.

Vervolgens vertelde een collega dat het niet mogelijk was om in vijf rondes iedereen iedereen te laten tegenkomen, omdat je gegarandeerd 'dubbelingen zou krijgen. Zie zijn argumentatie hieronder:

'We beginnen met 1,2,3,4 bij elkaar, en 5,6,7,8 enzovoorts.
Dan mogen die daarna dus niet meer bij elkaar. Dus 1, 2, 3 en 4 zitten telkens apart. Laten we zeggen respectievelijk aan tafel A, B, C, D.
5,6,7,8 moeten bij al deze tafels een keer ...langs. Dat is nog geen probleem, maar wel voor persoon 9.
Die moet namelijk zorgen dat hij bij geen van deze tafels iemand een 2de keer tegenkomt.
Stel 9 zit in ronde 2 bij tafel A, net als 1 en 5. Dan gaan 6 en 7 op dat moment bij twee van de andere tafels langs. Bij die twee tafels komt 9 deze spelers dus niet meer tegen.
Dus er is nog één tafel over waar speler 9 spelers 6 en 7 tegen kan komen. Maar daar kan hij geen twee keer zitten en 6 en 7 kunnen daar ook niet tegelijk zitten, want die zijn al samen geweest.'

Echter, jouw oplossing klopt als een bus! Daarom: wat is je systeem geweest?

Nogmaals erg bedankt!
Ellen

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3862
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door arie » 20 apr 2011, 20:57

ronde 1 is triviaal:
tafel A: 1 2 3 4
tafel B: 5 6 7 8
tafel C: 9 10 11 12
tafel D: 13 14 15 16

in ronde 2 verdelen we elk tafelviertal van ronde 1 over de 4 tafels:
tafel A: 1 5 9 13
tafel B: 2 6 10 14
tafel C: 3 7 11 15
tafel D: 4 8 12 16

In ronde 3 t/m 5 blijven speler 1 t/m 4 verdeeld over tafel A t/m D, ze mogen immers niet nog eens onderling aan dezelfde tafel gaan zitten.

Kijk nu naar de overige 3 kolommen.
Dit moeten steeds de tafelviertallen van ronde 1 blijven.
In de volgende ronde kunnen ze alleen van plaats binnen hun kolom wisselen, ze mogen nooit meer aan dezelfde tafel plaatsnemen.
Splits elk viertal nu in tweetallen van hoge en lage nummers binnen elke kolom.
In ronde 2 spelen de lage nummers aan tafel A en B, hier met rood aangegeven (5,6), (9,10) en (13,14):

ronde 2:
tafel A: 1 5 9 13
tafel B: 2 6 10 14
tafel C: 3 7 11 15
tafel D: 4 8 12 16

In ronde 3 t/m 5 mag slechts 1 van deze tweetallen aan tafel A en B plaatsnemen, de andere 2 tweetallen moeten naar tafel C en D (ga zo nodig zelf na wat er gebeurt als je 2 rode tweetallen boven (=aan tafel A en B) zou houden):

ronde 3:
tafel A: 1 6 11 16
tafel B: 2 5 12 15
tafel C: 3 8 9 14
tafel D: 4 7 10 13

Natuurlijk moet het tweetal dat boven blijft wisselen van tafel, want 1 en 2 blijven zitten.
De twee tweetallen die naar C en D gaan moeten onderling wisselen van tafel: 9 heeft al bij 13 gezeten, en 10 bij 14.
Een zelfde redenatie geldt voor de zwarte nummers.
Omdat we na ronde 2 steeds 1 van de 3 tweetallen boven houden, zijn er na ronde 2 nog 3 ronden te gaan, en komen we precies goed uit:

ronde 4:
tafel A: 1 7 12 14
tafel B: 2 8 11 13
tafel C: 3 5 10 16
tafel D: 4 6 9 15

ronde 5:
tafel A: 1 8 10 15
tafel B: 2 7 9 16
tafel C: 3 6 12 13
tafel D: 4 5 11 14

PS:
Inderdaad, er zijn mensen die bridge leuk vinden, maar volgens mij gaat er toch echt niets boven wiskunde.
;-)

Helena109
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 apr 2011, 21:06

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door Helena109 » 22 apr 2011, 11:47

Dag Arie,

Dankjewel voor je uitvoerige antwoord! Het is helemaal duidelijk!

(Ja, mensen kunnen heel rare hobby's hebben. Maar goed, ze doen verder weinig waad en het houdt ze van de straat ;-)

Groetjes!

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door David » 24 apr 2011, 23:53

Ik heb me een paar dagen af en aan geamuseerd en misschien heb ik een andere methode om geschikte indelingen te maken voor de bridgeclub (en andere activeiteiten met een ander aantal spelers, tafels en tafelplaatsen als zo'n indeling mogelijk is). Om dit te vinden had ik wel de oplossing van Arie, jou nodig.
Ik hernummer de tafelnummers even. Dat doe ik voor verderop. De 4 stoelen krijgen een nummer.
stoel s1, s2, s3, s4

We hebben:

Code: Selecteer alles

ronde 1: s0 s1 s2 s3
tafel A1: 1  2  3  4
tafel B2: 5  6  7  8
tafel C3: 9  10 11 12
tafel D4: 13 14 15 16
ronde 2:
tafel A1: 1 5 9 13
tafel B2: 2 6 10 14
tafel C3: 3 7 11 15
tafel D4: 4 8 12 16

ronde 3:
tafel A1: 1 6 11 16
tafel B2: 2 5 12 15
tafel C3: 3 8 9 14
tafel D4: 4 7 10 13

ronde 4:
tafel A1: 1 7 12 14
tafel B2: 2 8 11 13
tafel C3: 3 5 10 16
tafel D4: 4 6 9 15

ronde 5:
tafel A1: 1 8 10 15
tafel B2: 2 7 9 16
tafel C3: 3 6 12 13
tafel D4: 4 5 11 14

Er valt een aantal eigenschappen op te merken aan deze indeling. Vanaf ronde 3 is de som van de spelernummers aan elke tafel 34. Volgens mij is dat misleidend.

Een aantal spelers vertrekt even na het spelen van ronde 1, die schuiven later weer aan. Als alleen spelers 1, 2, 3, 4, 5, 9 en 13 over zijn rest nog:

Code: Selecteer alles

ronde 1: s0 s1 s2 s3
tafel A1: 1  2  3  4
tafel B2: 5  6  7  8
tafel C3: 9  10 11 12
tafel D4: 13 14 15 16

Code: Selecteer alles

ronde 2:
tafel A4: 1 5 9 13
tafel B3: 2 
tafel C2: 3 
tafel D1: 4 

Code: Selecteer alles

ronde 3:
tafel A4: 1 
tafel B3: 2 5 
tafel C2: 3    9 
tafel D1: 4      13

Code: Selecteer alles

ronde 4:
tafel A4: 1 
tafel B3: 2      13
tafel C2: 3 5 
tafel D1: 4   9 

Code: Selecteer alles

ronde 5:
tafel A4: 1 
tafel B3: 2   9 
tafel C2: 3      13
tafel D1: 4 5      
In elke stoel zitten spelers met spelernummer in de vorm 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4 respectievelijk (k geheel) voorbeeld: in stoel 1 geldt k=1 zodat spelers 1, 2, 3, 4 in aan elke tafel aan stoel 1 zitten. k komt overeen met het nummer in de stoelnaam.

Nu wil ik een aantal begrippen/concepten introduceren; "omhoog nummeren" en "omlaag nummeren"

Omhoog nummeren: aan de stoel wordt aan tafel vanaf 4k+1 omhoog genummerd (k>0) k=0 is al ingedeeld. Het omhoog nummeren geef ik onder elke ronde indeling met een pijl omhoog (↑).
Dat wil zeggen dat in het rooster een speler met een hoger nummer 1 plaats hoger komt. Als je bovenaan komt in het schema van de ronde, ga je verder onderaan, totdat alle de stoel aan alle tafels bezet is. Vergelijk het met het computerspel "snake" waar dat ook kan gebeuren, dat je aan de andere kant verder gaat.

Omlaag nummeren: Haast hetzelfde als omhoog nummeren, alleen omlaag en een ander pijltje. Het omlaag nummeren nummeren geef ik onder elke ronde indeling met een pijl omlaag (↓), andersom met de rand.
((Dat wil zeggen dat in het rooster een speler met een hoger nummer 1 plaats lager komt. Als je onderaan komt in het schema van de ronde, ga je verder bovenaan, totdat de stoel aan alle tafels bezet is. Vergelijk het met het computerspel "snake" waar dat ook kan gebeuren, dat je aan de andere kant verder gaat.))

Misschien is het nummeren te vergelijken met een ring.

Laat ons dat eens gaan doen.
Waarom omhoog of omlaag nummeren? Dat komt nog. (Dat geeft weer de ingevulde oplossing van Arie/jou.)

Code: Selecteer alles

ronde 1: s0 s1 s2 s3
tafel A1: 1  2  3  4
tafel B2: 5  6  7  8
tafel C3: 9  10 11 12
tafel D4: 13 14 15 16

Code: Selecteer alles

ronde 2:
tafel A4: 1 5 9 13
tafel B3: 2 6 10 14
tafel C2: 3 7 11 15
tafel D1: 4 8 12 16
            ↓  ↓  ↓

Code: Selecteer alles

ronde 3:
tafel A4: 1 8 11 16
tafel B3: 2 5 10  15
tafel C2: 3 6  9  14 
tafel D1: 4  7 12 13
            ↑  ↓  ↑

Code: Selecteer alles

ronde 4:
tafel A4: 1 7 12  14
tafel B3: 2 6  11 13
tafel C2: 3 5 10 15
tafel D1: 4 8  9 16
            ↓  ↑  ↑

Code: Selecteer alles

ronde 5:
tafel A4: 1 8 10 15
tafel B3: 2  7 9 16
tafel C2: 3 6 12 13
tafel D1: 4 5 11 14   
            ↑  ↑  ↓ 
Waarom omhoog dan wel omlaag nummeren?
Spelers 5, 9 en nemen 13 nemen na elke ronden plaats aan een andere tafel, waar ze niet speelden. Ze begonnen in ronde 2 allen aan tafel A4 (met nummer 4) Als het nummer aan de tafel, waar 5, 9 en 13 aan spelen, even is (tafels A4 en C2), wordt er omlaag genummerd. Anders (aan tafels B3 en D1) wordt er omhoog genummerd. Er wordt evenvaak omlaag als omhoog genummerd in totaal.

Hoe wordt beslist waar speler 5, 9 en 13 zitten in de ronden na ronden 2?
Ze veranderen respectievelijk 1, 2 en 3 plaatsen in de speelrichting waarin er genummerd wordt.
Te beginnen met {1, 2, 3} na ronde 2. De getallen 1, 2, 3 vormen ook een ring. Ik omschrijf het even met accolades, maar ik weet niet of het zo "mag." {1, 2, 3} na ronde 3 gaan 1, 2 en 3 allen een plaats naar rechts. Geeft {3, 1, 2} (3 komt terug in de ring) Zo wordt welke kant op wordt genummerd en vervolgens waar de spelers zitten. Na ronde 4 gaan de nummer 2 plaatsen naar rechts; geeft weer {1, 2, 3}

Als ik dit alles toepas, en ik in ronde 2 spelers 5, 9 en 13 plaats, liggen vervolgens alle spelersplaatsen vast.
Ik heb dezelfde ringen {1, 2, 3} en {3, 1, 2} gebruikt in mijn oplossing

Ik krijg

Code: Selecteer alles

ronde 1: s0 s1 s2 s3
tafel A1: 1  2  3  4
tafel B2: 5  6  7  8
tafel C3: 9  10 11 12
tafel D4: 13 14 15 16

Code: Selecteer alles

ronde 2:
tafel A4: 1 5 12 15
tafel B3: 2 6 11 16
tafel C2: 3 7  10  13
tafel D1: 4 8  9 14
            ↓  ↑  ↓
            1  2  3

Code: Selecteer alles

ronde 3:
tafel A4: 1 6 10 14
tafel B3: 2 5 9 13
tafel C2: 3 8 12 16 
tafel D1: 4 7 11 15
            ↑  ↑  ↑
            3  1  2
            

Code: Selecteer alles

ronde 4:
tafel A4: 1 7 9 16
tafel B3: 2 8 10 15
tafel C2: 3 5 11 14
tafel D1: 4 6 12 13
            ↓  ↓  ↑
            1  2  3

Code: Selecteer alles

ronde 5:
tafel A4: 1 8 11 13
tafel B3: 2 7 12 14
tafel C2: 3 6 9 15
tafel D1: 4 5 10 16  
            ↑  ↓  ↓ 
In deze oplossing is niet voor alle tafels na ronde 2 de som van de spelernummers 34.

Na ronde 2 gaat nummer 5 een plaats naar beneden, want de pijl staat naar beneden en het nummer dat er staat is "1". Een zelfde redenering voor alle andere spelers 5, 9, en 13 in ronden 2, 3, en 4.

Ik voel me erg zeker over de juistheid van deze methode voor 16 spelers en 4 tafels. Wellicht dus is het ook toepasbaar voor andere spelersaantallen. Ik heb (nog) niet onderzocht of je ook de ring {2, 1, 3} zo kan gebruiken en doorschuiven. 1 en dan 2 plaatsen.

Voor grotere aantallen (36 spelers aan 6 tafels bijv.) zou het kunen zijn dat {1, 2, 3, 4, 5} telkens eerst 1, dan 2, dan 3 en dan 4 plaatsen verschuift. Nog niet onderzocht.

Als de methode juist is, misschien is het overkill voor het invullen van speelschema's, maar voor mijn oplossing had ik ongeveer 1,5 minuut nodig op papier in te vullen. Ik weet niet precies hoe je de methode zou moeten bewijzen en hoe breed die toepasbaar is. Computers zijn zeker een stuk sneller dan ik. Ik denk dat dit goed is te programmeren, hoewel ik het (nog) niet kan.

Ik heb geprobeerd alles zo duidelijk en precies mogelijk te formuleren om geen ruimte te laten voor interpretatie. Vragen en opmerkingen staan vrij.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Stoverie
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 01 sep 2023, 22:20

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door Stoverie » 01 sep 2023, 22:25

Hoi iedereen,

Ik zag gelijkaardige vraag heel wat jaren geleden de revue passeren, maar wij zitten met een gelijkaardig probleem met de indeling van kaart tafels.

We hebben 5 rondes met 4 spelers per tafel, een tafelverdeling voor 8 en 9 tafels is gelukt, maar het lukt ons niet voor 5 en 6 tafels van 4 spelers.

Bedoeling is dat elke tafel uniek is en dat geen enkele speler speelt met andere spelers.

Kan iemand ons helpen aub?

Thanks

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3862
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Optimale indeling tafels bij kaartspel

Bericht door arie » 02 sep 2023, 14:26

5 rondes, 5 tafels (T1 t/m T5), 5x4=20 spelers (1 t/m 20):

Code: Selecteer alles

  Ronde 1:
T1:   1   2   3   4
T2:   5   6   7   8
T3:   9  10  11  12
T4:  13  14  15  16
T5:  17  18  19  20
---------------------
  Ronde 2:
T1:   1   6  11  16
T2:   2   7  12  17
T3:   3   8  13  18
T4:   4   9  14  19
T5:   5  10  15  20
---------------------
  Ronde 3:
T1:   1   5   9  13
T2:   2   8  10  19
T3:   3   7  16  20
T4:   4  11  15  17
T5:   6  12  14  18
---------------------
  Ronde 4:
T1:   1   8  12  15
T2:   2   6   9  20
T3:   3   5  14  17
T4:   4  10  16  18
T5:   7  11  13  19
---------------------
  Ronde 5:
T1:   1   7  10  14
T2:   2   5  11  18
T3:   3   6  15  19
T4:   4  12  13  20
T5:   8   9  16  17
---------------------

5 rondes, 6 tafels (T1 t/m T6), 6x4=24 spelers (1 t/m 24):

Code: Selecteer alles

  Ronde 1:
T1:   1   2   3   4
T2:   5   6   7   8
T3:   9  10  11  12
T4:  13  14  15  16
T5:  17  18  19  20
T6:  21  22  23  24
---------------------
  Ronde 2:
T1:   1   7  13  19
T2:   2   8  14  20
T3:   3   9  15  21
T4:   4  10  16  22
T5:   5  11  17  23
T6:   6  12  18  24
---------------------
  Ronde 3:
T1:   1   5   9  14
T2:   2   6  10  13
T3:   3  11  18  22
T4:   4  12  17  21
T5:   7  15  20  23
T6:   8  16  19  24
---------------------
  Ronde 4:
T1:   1   6  11  15
T2:   2   5  12  16
T3:   3   7  17  24
T4:   4   8  18  23
T5:   9  13  20  22
T6:  10  14  19  21
---------------------
  Ronde 5:
T1:   1   8  10  17
T2:   2   7   9  18
T3:   3   6  14  23
T4:   4   5  13  24
T5:  11  16  20  21
T6:  12  15  19  22
---------------------

5 rondes, 7 tafels (T1 t/m T7), 7x4=28 spelers (1 t/m 28):

Code: Selecteer alles

  Ronde 1:
T1:   1   2   3   4
T2:   5   6   7   8
T3:   9  10  11  12
T4:  13  14  15  16
T5:  17  18  19  20
T6:  21  22  23  24
T7:  25  26  27  28
---------------------
  Ronde 2:
T1:   1   8  15  22
T2:   2   9  16  23
T3:   3  10  17  24
T4:   4  11  18  25
T5:   5  12  19  26
T6:   6  13  20  27
T7:   7  14  21  28
---------------------
  Ronde 3:
T1:   1   5  11  13
T2:   2   6  12  14
T3:   3   7  15  18
T4:   4  16  21  26
T5:   8  17  23  25
T6:   9  19  24  27
T7:  10  20  22  28
---------------------
  Ronde 4:
T1:   1   6   9  17
T2:   2   5  10  15
T3:   3   8  14  19
T4:   4   7  22  27
T5:  11  16  24  28
T6:  12  20  21  25
T7:  13  18  23  26
---------------------
  Ronde 5:
T1:   1   7  10  19
T2:   2   8  11  20
T3:   3   9  13  21
T4:   4   5  23  28
T5:  14  17  22  26
T6:  15   6  24  25
T7:  16  12  18  27
---------------------


Is dit wat je zocht?

Plaats reactie