Vraagstuk kansberekening

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 27 jul 2022, 09:34

Hi alle,

Dit is mijn eerste bericht, en kwam op dit forum na wat speurwerk, hopelijk kan iemand mij helpen met de volgende opgaves, hulp wordt zeer gewaardeerd! Bedankt!


Een bingo spel wordt gespeeld met balletjes met daarop de getallen 0 t/m 36.
Een deelnemer heeft een bingokaart met daarop 15 van deze getallen. Er worden vervolgens 15 balletjes getrokken.


a) Wat is de kans dat de deelnemer van de 15 getrokken balletjes er 5 goed heeft?

b) Wat is de kans dat de deelnemer er minder dan 3 goed heeft?


De bingokaart bestaat uit 3 rijen van ieder 5 getallen.


c) Wat is de kans dat de deelnemer in 2 rijen 2 getallen goed heeft en in 1 rij 3 getallen?



Hulp wordt zeer gewaardeerd!! Thanks

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3731
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door arie » 27 jul 2022, 14:20

Een bingo spel wordt gespeeld met balletjes met daarop de getallen 0 t/m 36.
Een deelnemer heeft een bingokaart met daarop 15 van deze getallen. Er worden vervolgens 15 balletjes getrokken.
a) Wat is de kans dat de deelnemer van de 15 getrokken balletjes er 5 goed heeft?
Merk eerst op dat er 37 verschillende balletjes zijn: 0 t/m 36.
Er worden hieruit 15 verschillende balletjes uit getrokken (= geen herhaling) en de volgorde waarin ze getrokken worden is niet van belang.
Het totale aantal mogelijke trekkingen van 15 uit 37 is dan het aantal combinaties van 15 uit 37 =
\(= {37 \choose 15} = 9364199760\)

Het aantal gezochte uitkomsten (precies 5 balletjes goed) = het aantal uitkomsten met:
( 5 balletjes uit de 15 goede = het aantal combinaties van 5 uit 15 )
EN
( 10 balletjes uit de 37-15=22 foute = het aantal combinaties van 10 uit 22 )
Hoeveel gezochte uitkomsten zijn er dus in totaal?

Wat is dus de gevraagde kans?

b) Wat is de kans dat de deelnemer er minder dan 3 goed heeft?
Dan heeft de deelnemer er:
0 goed OF 1 goed OF 2 goed.
De 3 individuele kansen bereken je als bij onderdeel a)

c) Wat is de kans dat de deelnemer in 2 rijen 2 getallen goed heeft en in 1 rij 3 getallen?
Deze vraag is niet helemaal duidelijk:

[1] indien gegeven is dat de deelnemer er 7 van de 15 goed heeft:
Er zijn nu in totaal 7 uit 15 mogelijke posities op de kaart = \({15 \choose 7} = 6435\)

Het aantal gevraagde uitkomsten =
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (3 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (3 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (3 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )

Hoeveel mogelijkheden levert dit in totaal?

Wat is dus de gevraagde kans?

[2] indien NIET gegeven is dat de deelnemer er 7 van de 15 goed heeft:
Dan moeten we dit resultaat nog vermenigvuldigen met de kans dat de deelnemer er 7 uit 15 goed heeft,
vergelijkbaar met wat we in onderdeel a) gedaan hebben.


Kom je hiermee verder?

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 27 jul 2022, 14:38

Bijna! iig vast bedankt voor de uitleg;

Weet alleen niet precies wat je hier vraagt;

Hoeveel gezochte uitkomsten zijn er dus in totaal?
Wat is dus de gevraagde kans?


Is er een mogelijkheid dat a) uitgewerkt wordt, daarmee kan ik b) en c) iig uitwerken.

Thanks!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3731
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door arie » 27 jul 2022, 15:00

Het aantal gezochte uitkomsten (precies 5 balletjes goed) = het aantal uitkomsten met:
( 5 balletjes uit de 15 goede = het aantal combinaties van 5 uit 15 = \({15 \choose 5} = 3003\) )
EN
( 10 balletjes uit de 37-15=22 foute = het aantal combinaties van 10 uit 22 = \({22 \choose 10} = 646646\))

Hoeveel gezochte uitkomsten zijn er dus in totaal?
Het aantal mogelijkheden om 5 goede en 10 foute balletjes te trekken is dus 3003 * 646646 = 1941877938
(voor elk van de 3003 mogelijkheden om 5 goede balletjes te trekken zijn er steeds 646646 mogelijkheden voor de foute balletjes, deze 2 getallen moeten we dus met elkaar vermenigvuldigen om alle gezochte uitkomsten te berekenen)

Wat is dus de gevraagde kans?

\(\text{gevraagde kans} = \frac{\text{aantal gezochte uitkomsten (met 5 goed)}}{\text{totale aantal mogelijke uitkomsten}}= \frac{1941877938}{9364199760} \approx 0.2073725452\)

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 27 jul 2022, 15:10

Held.

Dankjewel!

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 28 jul 2022, 06:45

Hele domme vraag; maar hoe kom je hier op uit;



Hoe tik je dit fysiek in op je rekenmachine en of via excel?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3731
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door arie » 28 jul 2022, 10:33

Op rekenmachines is dit vaak de functie nCr:
\(\text{nCr} = {n \choose r}\)
= het aantal mogelijke combinaties van r gekozen elementen uit een verzameling van in totaal n elementen (waarbij die r elementen getrokken worden zonder terugleggen (= geen herhalingen, alle r elementen zijn verschillend) en waarbij de volgorde van die r elementen niet van belang is)

In Excel:
Nederlands: =COMBINATIES(getal;aantal-gekozen)
Engels: =COMBIN(number, number_chosen)

Voorbeeld:
\(\text{15 nCr 5} = {15 \choose 5} = 3003\)

Meer info:
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatie_(wiskunde)):

\({n \choose r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}\)

en heel uitgebreid uitgewerkt voor jouw voorbeeld:

\({15 \choose 5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!}= \frac{15!}{5! \cdot 10!}= \frac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \)

\(= \frac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 }{5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 3003\)

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 28 jul 2022, 12:46

Dankjewel, wordt enorm gewaardeerd.

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 02 aug 2022, 07:43

Ik kom helaas niet verder bij vraag b;

b) Wat is de kans dat de deelnemer er minder dan 3 goed heeft?

Moet ik dit als volgt doen;

0 goed = (15 nCr 0 * 22 nCr 15) / (37 nCr 15) = gevraagde kans 0 goed
1 goed = (15 nCr 1 * 22 nCr 14) / (37 nCr 15) = gevraagde kans 1 goed
2 goed = (15 nCr 2 * 22 nCr 13) / (37 nCr 15) = gevraagde kans 2 goed

en dan vervolgens de gevraagde kansen bij elkaar vermenigvuldigen?
Ik kom helaas op vreemde waardes uit, kan iemand mij hierin wellicht helpen? Thanks!

EricAddo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 27 jul 2022, 09:30

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door EricAddo » 02 aug 2022, 07:51

arie schreef:
27 jul 2022, 14:20
Een bingo spel wordt gespeeld met balletjes met daarop de getallen 0 t/m 36.
Een deelnemer heeft een bingokaart met daarop 15 van deze getallen. Er worden vervolgens 15 balletjes getrokken.
a) Wat is de kans dat de deelnemer van de 15 getrokken balletjes er 5 goed heeft?
Merk eerst op dat er 37 verschillende balletjes zijn: 0 t/m 36.
Er worden hieruit 15 verschillende balletjes uit getrokken (= geen herhaling) en de volgorde waarin ze getrokken worden is niet van belang.
Het totale aantal mogelijke trekkingen van 15 uit 37 is dan het aantal combinaties van 15 uit 37 =
\(= {37 \choose 15} = 9364199760\)

Het aantal gezochte uitkomsten (precies 5 balletjes goed) = het aantal uitkomsten met:
( 5 balletjes uit de 15 goede = het aantal combinaties van 5 uit 15 )
EN
( 10 balletjes uit de 37-15=22 foute = het aantal combinaties van 10 uit 22 )
Hoeveel gezochte uitkomsten zijn er dus in totaal?

Wat is dus de gevraagde kans?

b) Wat is de kans dat de deelnemer er minder dan 3 goed heeft?
Dan heeft de deelnemer er:
0 goed OF 1 goed OF 2 goed.
De 3 individuele kansen bereken je als bij onderdeel a)

c) Wat is de kans dat de deelnemer in 2 rijen 2 getallen goed heeft en in 1 rij 3 getallen?
Deze vraag is niet helemaal duidelijk:

[1] indien gegeven is dat de deelnemer er 7 van de 15 goed heeft:
Er zijn nu in totaal 7 uit 15 mogelijke posities op de kaart = \({15 \choose 7} = 6435\)

Het aantal gevraagde uitkomsten =
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (3 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (3 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (3 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )

Hoeveel mogelijkheden levert dit in totaal?

Wat is dus de gevraagde kans?

[2] indien NIET gegeven is dat de deelnemer er 7 van de 15 goed heeft:
Dan moeten we dit resultaat nog vermenigvuldigen met de kans dat de deelnemer er 7 uit 15 goed heeft,
vergelijkbaar met wat we in onderdeel a) gedaan hebben.


Kom je hiermee verder?
Tevens met boven aangegeven vraagstuk; hoe tik ik dit daadwerkelijk in / hoe schrijf ik dit uit?


Het aantal gevraagde uitkomsten =
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (3 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (3 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (3 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )

Hoeveel mogelijkheden levert dit in totaal?

Wat is dus de gevraagde kans?


Ik begrijp het verschil niet tussen Indien NIET gegeven van 7/15 of wel.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3731
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk kansberekening

Bericht door arie » 03 aug 2022, 15:47

[1] alle (deel-)mogelijkheden zijn onafhankelijk (de keuze van 2 goed uit rij 1 heeft GEEN effect op de keuze van 2 goed uit rij 2, etc.) en
[2] de mogelijkheden van (2-2-3 goed) OF (2-3-2 goed) OF (3-2-2 goed) geven geen dubbeltellingen.
Dan kunnen we 'EN' vervangen door ' x ' en 'OF' door ' + ' :

Het aantal gevraagde uitkomsten =
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (3 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (2 uit 5 goed in rij 1) EN (3 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )
OF
( (3 uit 5 goed in rij 1) EN (2 uit 5 goed in rij 2) EN (2 uit 5 goed in rij 3) )

\(= \left({5 \choose 2 } \times {5 \choose 2 } \times {5 \choose 3 } \right) +\left({5 \choose 2 } \times {5 \choose 3 } \times {5 \choose 2 } \right) +\left({5 \choose 3 } \times {5 \choose 2 } \times {5 \choose 2 } \right) \)

\(= \; ...\)

Dit geeft het aantal kaarten met 'goede' = 'gewenste' uitkomsten.
Om de kans op een 'goede' uitkomst te berekenen moeten we dit aantal delen door het totale aantal kaaten:
- indien vooraf gegeven is dat er op de kaart met 15 nummers de 7 goede nummers staan, dan is het totale aantal mogelijke kaarten = \({15 \choose 7}\) = 6435
- indien dit NIET gegeven is dan zijn er in totaal \({37 \choose 7}\) = 10295472 mogelijke kaarten, en is de kans op een goede kaart dus veel kleiner.

Plaats reactie