Dobbelsteen = multiset (= verzameling waarin de elementen meerdere malen mogen voorkomen) van 6 zijden.
- een vraagteken = het aantal ogen op de betreffende zijde is nog niet bekend.
Daarna volgt een pijl en tenslotte de verdeling (tot zover bekend) tussen rechte haken.
Met dobbelstenen {1,2,?,?,?,?} en {1,2,?,?,?,?} kunnen we (tot nu toe) deze ogensommen gooien:
ofwel: we hebben tot nu toe deze verdeling: [0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
We mogen geen nul gebruiken, dus is er slechts 1 manier om ogensom 2 te krijgen: precies één 1 op elke dobbelsteen:
{1,?,?,?,?,?} en {1,?,?,?,?,?} met verdeling [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Meer enen mogen we vanaf nu niet gebruiken, anders krijgen we te veel tweeën in onze ogensomverdeling.
Dus voor ogensom 3 mogen we alleen zijden met 2 ogen introduceren (via 2 + 1 krijgen we ogensom 3).
Ogensom 3 moeten we op 2 mogelijkheden kunnen krijgen, op dit moment hebben we hiervoor nul mogelijkheden (zie de verdeling tot nu toe), dus moeten er 2 - 0 = 2 tweeën geintroduceerd worden. Dit kan op 3 manieren:
waarbij de laatste hetzelfde resultaat geeft als de eerste, dus hoeven we alleen door te gaan met:
In beide gevallen mogen we nu ook niet meer tweeën gebruiken, anders krijgen we te veel drieën in onze ogensomverdeling.
Daarom moeten we verder met zijden met 3 ogen om ogensom 4 te krijgen.
etc. etc.
- ofwel vastlopen (bv. omdat een bepaalde ogensom meer mogelijkheden krijgt dan zijn aantal in de verdeling met de standaard dobbelstenen)
Code: Selecteer alles
{1,?,?,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 2 ogen nodig voor som=3:
{1,2,2,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
3 zijden met 3 ogen nodig voor som=4:
{1,2,2,3,3,3} {1,?,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0]
4 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
{1,2,2,3,3,3} {1,4,4,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,8,12,0,0,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,2,3,3,?} {1,3,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,2,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
{1,2,2,3,3,4} {1,3,4,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,4,3,1,0,0,0,0]
1 zijde met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,3,1,0,0,0]
1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,6,?} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,3,1,0,0]
1 zijde met 8 ogen nodig voor som=9:
{1,2,2,3,3,4} {1,3,4,5,6,8} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]
OPLOSSING GEVONDEN
{1,2,2,3,3,?} {1,3,4,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,6,4,0,0,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,2,3,?,?} {1,3,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,2,3,5,5} {1,3,3,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,2,5,0,2,0,0]
4 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
onvoldoende vrije zijden
{1,2,2,3,5,?} {1,3,3,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,4,0,2,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,2,3,5,6} {1,3,3,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,3,2,3,1]
= fout in verdeling
{1,2,2,3,?,?} {1,3,3,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,3,0,0,0,0]
2 zijden met 7 ogen nodig voor som=8:
{1,2,2,3,7,7} {1,3,3,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,0,4,0,6]
= fout in verdeling
{1,2,2,?,?,?} {1,3,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,6,0,0,0,0,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,?,?,?,?} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 3 ogen nodig voor som=4:
{1,2,3,3,?,?} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,0,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
{1,2,3,3,4,4} {1,2,?,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,3,4,4} {1,2,5,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,3,6,6,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,3,4,?} {1,2,4,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,2,1,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,3,4,5} {1,2,4,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,5,3,2,0,0]
1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,3,4,5} {1,2,4,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,5,3,1,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,3,4,?} {1,2,4,5,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,5,7,3,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,3,?,?} {1,2,4,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,4,0,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,3,5,5} {1,2,4,4,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,7,2,4,2,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,3,5,?} {1,2,4,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,7,4,2,2,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,?,?,?} {1,2,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
{1,2,3,4,4,?} {1,2,3,?,?,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,0,0,0,0,0]
2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,4,4,5} {1,2,3,5,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,2,1,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,4,4,5} {1,2,3,5,6,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,4,5,2,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,4,4,?} {1,2,3,5,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,4,0,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,4,4,6} {1,2,3,5,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,6,2,2,1]
= fout in verdeling
{1,2,3,4,?,?} {1,2,3,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,0,0]
2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,4,5,5} {1,2,3,4,?,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,0,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,4,5,5} {1,2,3,4,6,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,2,4,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,4,5,?} {1,2,3,4,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]
OPLOSSING GEVONDEN
{1,2,3,4,?,?} {1,2,3,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,4,3,2,0,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,4,6,6} {1,2,3,4,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,5,4,2,4,0]
= fout in verdeling
{1,2,3,?,?,?} {1,2,3,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,3,2,0,0,0,0,0]
2 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,3,5,5,?} {1,2,3,4,4,?} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,4,0,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,5,5,6} {1,2,3,4,4,6} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,6,2,2,1]
= fout in verdeling
{1,2,3,5,?,?} {1,2,3,4,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,4,2,2,1,0,0]
2 zijden met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,3,5,6,6} {1,2,3,4,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,4,4,5,2,0]
= fout in verdeling
{1,2,?,?,?,?} {1,2,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,2,0,0,0,0,0,0,0]
2 zijden met 4 ogen nodig voor som=5:
{1,2,4,4,?,?} {1,2,3,3,?,?} => [0,0,1,2,3,4,2,4,0,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,4,4,5,5} {1,2,3,3,5,?} => [0,0,1,2,3,4,5,7,4,2,2,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,4,4,5,?} {1,2,3,3,5,5} => [0,0,1,2,3,4,5,7,2,4,2,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,4,?,?,?} {1,2,3,3,4,?} => [0,0,1,2,3,4,2,2,1,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,4,5,5,5} {1,2,3,3,4,?} => [0,0,1,2,3,4,5,5,7,3,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,2,4,5,5,?} {1,2,3,3,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,5,5,3,2,0,0]
1 zijde met 6 ogen nodig voor som=7:
{1,2,4,5,5,6} {1,2,3,3,4,5} => [0,0,1,2,3,4,5,6,6,5,3,1,0]
= fout in verdeling
{1,2,?,?,?,?} {1,2,3,3,4,4} => [0,0,1,2,3,4,2,0,0,0,0,0,0]
3 zijden met 5 ogen nodig voor som=6:
{1,2,5,5,5,?} {1,2,3,3,4,4} => [0,0,1,2,3,4,5,3,6,6,0,0,0]
= fout in verdeling
{1,?,?,?,?,?} {1,2,2,?,?,?} => [0,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
dit is hetzelfde als {1,2,2,?,?,?} {1,?,?,?,?,?} wat we hierboven al hebben uitgewerkt.