Goniometrische cirkel formules vereenvoudigen

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
nina_debacker
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 13 sep 2022, 08:43

Goniometrische cirkel formules vereenvoudigen

Bericht door nina_debacker » 13 sep 2022, 09:21

Hey,

Ik moet voor wiskunde volgende oefening bewijzen maar raak er niet uit hoe dit moet.

sin (11π/6 - α) + cos (4π/3 - α) + 2 tan ( 19π/6 + α) . sin (α - 10π/3) = 0

Weet iemand hoe ik kan bewijzen dat dit klopt?

- Nina

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3751
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Goniometrische cirkel formules vereenvoudigen

Bericht door arie » 13 sep 2022, 19:27

We moeten bewijzen:

\(\sin(11\pi/6 - x) + \cos (4\pi/3 - x) + 2 \tan ( 19\pi/6 + x) \cdot \sin (x - 10\pi/3)\stackrel{?}{=}0\)

Merk eerst op dat \(\tan ( 19\pi/6 + x)\) moet bestaan, dus \(\frac{19}{6}\pi + x \neq \frac{1}{2}\pi + k\pi\) (waarbij \(k \in \mathbb{Z}\))

Daarna kunnen we de \(\tan\) vervangen (en houden we een gelijkheid in \(\sin\) en \(\cos\) over):

\(\sin(11\pi/6 - x) + \cos (4\pi/3 - x) + 2 \frac{\sin ( 19\pi/6 + x)}{\cos ( 19\pi/6 + x)} \cdot \sin (x - 10\pi/3)\stackrel{?}{=} 0\)

Schrijf dit als 1 breuk:

\( \frac{\sin(11\pi/6 - x)\cdot\cos ( 19\pi/6 + x) \;+\; \cos (4\pi/3 - x)\cdot\cos ( 19\pi/6 + x)\;+\; 2\sin ( 19\pi/6 + x)\cdot \sin (x - 10\pi/3)}{\cos ( 19\pi/6 + x)} \stackrel{?}{=} 0\)

en nu moeten we bewijzen dat de teller van deze breuk gelijk is aan nul.


Strategie:

- gebruik de sommatie-formules, zoals \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+ \cos(\alpha)\sin(\beta)\)
NOOT: dit wordt een hele lange formule,
(zie bijvoorbeeld https://www.wolframalpha.com/input?i=si ... 0Pi%2F3%29
onder de paragraaf "Addition formulas" op die pagina)

- vervang de sinussen en cosinussen van de constante hoeken door hun waarden

- gebruik gelijkheden zoals \(\sin(-x) = -sin(x)\) en \(cos(-x) = cos(x)\)

- werk alle produkten verder uit

- probeer alle soortgelijke termen te bundelen.


Kom je hiermee verder?

Plaats reactie