Wiskundeforum

Laten we even een Taylor expansie vergeten, die geeft voor de eerste paar termen sowieso een overschatting; ik zit met een opgave waarin de uitdrukking $$\ln 4$$ een rol speelt.

En hoewel ik de opgave goed heb afgerond, blijft dit benaderen door m'n hoofd spoken. Het is een stukje nieuwsgierigheid dat me niet loslaat en me alleen maar nuttiger (?) te besteden tijd kost, maar toch .

Een paar dingen die ik 'weet' (c.q. opgepikt), zonder al te streng te zijn op afrondingen etc:

\(\sqrt 2 = 1.414... \\
\phi = 1.618... \\
\sqrt 3 = 1.732... \\
e = 2.718... \)

Dus eens kijken hoe ver ik kan komen zonder te spieken op wolframalpha oid. gewoon een gedachtengang, alsof ik op een whiteboard aan het kliederen ben;

\( e < 4 < e^2 \implies\ln e < \ln 4 < \ln e^2, \), aangezien \( ln x\) monotoon stijgend over het hele domein. Dus : $$\ln e < 2 \ln 2^2 < \ln e^2 = $$
$$1 < 2 \ln 2 < 2 \ln e = $$
$$1 < 2 \ln 2 < 2$$
$$\frac{1}{2} < \ln 2 < 1$$
Wat algebra heeft me gebracht tot dit punt, is dat \(\ln 2\) ergens ligt in het interval: \((\frac{1}{2}, 1)\)
Nu wil ik eigenlijk de upperbound verder te verlagen en de lower bound verder te verhogen, maar eigenlijk door zo min mogelijk te brute-forcen, maar te spelen met rekenregels

\(
\frac{1}{2} <\ln 2 < 1 < \sqrt2 =\\
\ln 2 < \sqrt2 =\\
\frac{\ln 2}{2} < \frac{\sqrt 2}{2} =\\
\frac{\ln 2}{2}< 0.707
\)

Niet heel veel wijzer van geworden. Iets anders proberen, ik wil van die \(\ln\) af.

$$\ln 2 < \sqrt2 \implies e^{\ln 2} < e^{\sqrt2} \implies 2 < e^{\sqrt 2}$$

Dat wisten we al en \(2.718^{1.414}\) is ook niet echt makkelijk uit het hoofd...

\(\ln 2 < \sqrt2 \implies e^{\ln 2} < e^{\sqrt2} \implies2 < e^{\sqrt 2} \implies 4 < e^2 \implies 2 < e \implies 1 < \frac{e}{2}\implies \frac{1}{2} < \frac{e}{4} \)

\(\frac{e}{4} = 0.679\)

Echter \(\ln 2 > \frac{e}{4}\) en ik zocht eigenlijk een betere upper bound. En hoewel het redelijk dicht in de buurt ligt, vind ik het toch te rommelig, het zal vast makkelijker kunnen. Wat tips? Want nu ik deze brainfart van me af heb geschreven ga ik graag weer verder met het de echte cursus

Drie opmerkingen:

[1] Je hebt in je eerste deel gevonden
\(e < 4 < e^2\)
\(1 < \ln(4) < 2\)
\(\frac{1}{2} < \ln(2) < 1\)
ofwel
\(0.25 < \frac{\ln(2)}{2} < 0.5\)

Het heeft dan geen zin om je bovengrens te vergroten:

sebuts schreef: \(\frac{1}{2} <\ln 2 < 1 < \sqrt2 \)
...
\(\frac{\ln 2}{2}< 0.707\)

[2] De eindconclusie klopt (e > 2 ofwel e/4 > 2/4), maar de manier waarop deze is afgeleid klopt niet:

sebuts schreef: \(\ln 2 < \sqrt2 \implies e^{\ln 2} < e^{\sqrt2} \implies2 < e^{\sqrt 2} \implies 4 < e^2 \implies 2 < e \implies 1 < \frac{e}{2}\implies \frac{1}{2} < \frac{e}{4} \)

\(2 < e^{\sqrt2} \; \Rightarrow \; 2^2 < \left(e^{\sqrt2}\right)^2 \; \Rightarrow \; 4 < e^{2\sqrt2} = e^{2.8284...} \; \nRightarrow \; 4 < e^2\)


[3] Als je \(\ln(4)\) wil benaderen via
\(\sqrt{2}=1.414...\)
\(\phi=1.618...\)
\(\sqrt{3}=1.732...\)
\(e=2.718...\)
dan is dit een mogelijkheid:

\(\ln(4) = \frac{^2\log(4)}{^2\log(e)}\approx \frac{2}{^2\log(11/4)}\approx \frac{2}{^2\log(8\cdot\sqrt{2}/4)} = \frac{2}{^2\log(2\cdot\sqrt{2})} = \frac{2}{1.5} = 1.33...\)

omdat we e iets te groot hebben benaderd (met 11/4 = 2.75) en ook \(8\cdot \sqrt{2}\approx 8\cdot 1.4 = 11.2 > 11\), zal bovenstaand resultaat iets te klein zijn.
Ter controle: ln(4) = 1.386...

arie schreef: ↑

13 jul 2020, 09:04

Het heeft dan geen zin om je bovengrens te vergroten:

Klopt, ik deed dat vooral omdat ik weet wat \(\frac{\sqrt 2}{2}\) is, maar ik heb niks om te staven dat dat ook daadwerkelijk groter is dan \(\ln 2\).

Ik probeer juist een beetje van die logs uit af te komen en jouw oplossing is een leuke, dank je! Natuurlijk is het gewoon handig om uit het hoofd te weten, maar zat gewoon een beetje spelen.