Ik bereken een integraal op 2 verschillende manieren en kom verschillende uitkomsten uit.
Wat is de verklaring hiervoor ?
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}x)}{\sqrt{(\sqrt{2}x)^2-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right |\, +C\)
Deze bovenstaande uitkomst heb ik berekend met een formule uit het boek.
Onderstaand probeer ik zelf deze integraal te berekenen.
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\)
\(x^2 - \frac{5}{2}> 0\)
\(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}= t\)
\(1\, +\, \frac{2x}{2\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, =\, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, +\, x}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{t}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{t}\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\, =\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | t \right |\, +\, C\)
\(=\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, \right |\, +\, C\)
Met bovenstaande kom ik dus een ander resultaat uit.
Waar doe ik iets fout ?
integraal
Re: integraal
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right|\, +C\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right|\, +C\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}\cdot \left( x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right) \right|\, +C\)
gebruik vervolgens:
\(\ln(a\cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\)
Zie je nu wat er aan de hand is?
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right|\, +C\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}\cdot \left( x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right) \right|\, +C\)
gebruik vervolgens:
\(\ln(a\cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\)
Zie je nu wat er aan de hand is?
Re: integraal
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}})\right |\, +\, C\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \ln \left | \sqrt{2} \right | +\ln \left | x\, \, +\, \sqrt{x^2 - \frac{5}{2}} \right |\right )\, +\, C\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2\, -\,\frac{5}{2} } \right |\, +\, C\, +\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2} \right |\)
De constante is verschillend ?
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \ln \left | \sqrt{2} \right | +\ln \left | x\, \, +\, \sqrt{x^2 - \frac{5}{2}} \right |\right )\, +\, C\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2\, -\,\frac{5}{2} } \right |\, +\, C\, +\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2} \right |\)
De constante is verschillend ?
Re: integraal
De integratieconstante \(C\) is een vrije, onbepaalde constante \(C \in \mathbb{R}\).
\(C\) kan elk reeel getal zijn.
Maar dan maakt het niet uit of we \(C\) vrij mogen kiezen, of dat we \(C' = C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) vrij mogen kiezen.
Dus in plaats van \(C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) (met \(C \in \mathbb{R}\)) mogen we ook schrijven \(C'\) (met \(C' \in \mathbb{R}\)), en dan kunnen we net zo goed dat accent weglaten.
Met andere woorden: de constante \(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) gaat volledig op in de onbepaalde constante \(C\) en kunnen we zonder gevolgen voor het antwoord weglaten.
Je twee antwoorden zijn dus beide correct.
\(C\) kan elk reeel getal zijn.
Maar dan maakt het niet uit of we \(C\) vrij mogen kiezen, of dat we \(C' = C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) vrij mogen kiezen.
Dus in plaats van \(C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) (met \(C \in \mathbb{R}\)) mogen we ook schrijven \(C'\) (met \(C' \in \mathbb{R}\)), en dan kunnen we net zo goed dat accent weglaten.
Met andere woorden: de constante \(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) gaat volledig op in de onbepaalde constante \(C\) en kunnen we zonder gevolgen voor het antwoord weglaten.
Je twee antwoorden zijn dus beide correct.
Re: integraal
Hartelijk dank arie voor je hulp.
Het is me nu zeer duidelijk.
Het is me nu zeer duidelijk.
Re: integraal
arie schreef
De 2 verschillende primitieve F(x) die ik uitkwam verschillen slechts
in hun integratieconstante. Wat dus grafisch wil zeggen dat ze gewoon
verticaal verschoven zijn in een XY-grafiek.
De helling blijft bewaard bij 2 primitieve functies die slechts verticaal verschoven zijn
zodat de inverse functie ( F'(x) ) voor beide verschillende primitieve functies hetzelfde is.
Ook als we van beide F(x) de inverse bewerking doen F'(x) met enkel een verschillende
integratieconstante ( C en C' ) krijgen we dezelfde inverse functie omdat F'(C) = F'(C')= 0.
arie nu ik erover nadenk.Beide oplossingen zijn correct
De 2 verschillende primitieve F(x) die ik uitkwam verschillen slechts
in hun integratieconstante. Wat dus grafisch wil zeggen dat ze gewoon
verticaal verschoven zijn in een XY-grafiek.
De helling blijft bewaard bij 2 primitieve functies die slechts verticaal verschoven zijn
zodat de inverse functie ( F'(x) ) voor beide verschillende primitieve functies hetzelfde is.
Ook als we van beide F(x) de inverse bewerking doen F'(x) met enkel een verschillende
integratieconstante ( C en C' ) krijgen we dezelfde inverse functie omdat F'(C) = F'(C')= 0.