Differentieerbaarheid en een rij

[David]

((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x
echt? Ik keek met wolfram, die geeft een verschillende linkerlimiet en rechterlimiet aan. Kijk daar eens naar.
Je redenering is me ook goed.


Zo ver waren we toch?

[SafeX]

Bereken de limiet voor x gaat naar nul voor ((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x
Ik zou zeggen dat, als x bijna nul is, deze limiet naar 0 zou moeten gaan. Je krijgt in die situatie namelijk boven de breuk 2 - 2, en onder de bruik maakt het dan al niet meer uit omdat de teller gelijk is aan 0. Het antwoordenblad zegt echter dat het antwoord 1/32e is. Hoe kom ik hier op?

Ik denk dat het:

moet zijn, want even verder schrijf je: ...boven de breuk 2 - 2, ...
En er komt echt 1/32 uit.

[ItsGavril]

Pff jeetje, ik maak het jullie ook wel echt onmogelijk. boven de breuk staat inderdaad -2, geen +2. Duizend maal excuses...



is het dus. Ik moet eerlijk zeggen dat ik het dan ook niet weet.

Het enige wat ik kan bedenken is de breuk tot de vierde macht doen, dan krijg je

(32+x)/x^4

Dit heb ik echter alleen gedaan zodat er uberhaupt een 32 in het spel is..

[SafeX]

Maar dat is (natuurlijk) niet goed, net zo als (a+b)² ongelijk a²+b². Ga dat na.
Je moet hier denken aan: (a-b)(a+b)=...
Verm. teller en noemer met a+b, na eerst vastgesteld te hebben wat a en wat b is.

[ItsGavril]

Ik moet ook niet zo laat op de avond nog wiskunde maken, dat is voor mij niet rendabel. Bij een (a+b)(a-b) zou ik hier denken aan a = vierdemachtswortel (16 + x) en b = 2

Dus dan zou ik het moeten vermenigvuldigen met (vierdemachtswortel (16 + x)+2)/(vierdemachtswortel (16 + x)+2)

even zien.

Dat is dan boven de teller a² +b², oftewel Wortel(16+x) + 4 / x*(vierdemachtswortel (16 + x)+2)

Ik ga hier even over na denken.

[SafeX]

Allereerst, wat is: (a+b)(a-b)=... , werk dit uit.
Je aanname van a en b is correct. Ga ermee verder.

[ItsGavril]

* =

* =

(Ik hoop dat het goed gaat met de TeX, ik heb er nog geen ervaring mee..)

Bij het bovenstaande zou ik dan vervolgens door x delen onder en boven de deelstreep, waardoor de teller gelijk wordt aan 1. Vervolgens zou ik 0 invullen onder de deelstreep, waardoor er daar 8*4 komt, oftewel 32.
De limiet is dus

[SafeX]

Prima. Wat is je eigen gevoel hierover? Heb je iets geleerd?

Opm: In de wiskunde gebruiken we geen X als vermenigvuldigings-teken. Dus bv:

* =

[ItsGavril]

Ah ja, zal het in het vervolg anders noteren. Heb wel het gevoel dat ik hiervan heb geleerd ja. Dus bij deze, jullie allemaal hartelijk bedankt.

[SafeX]

OK! Succes.

[David]

Bereken de limiet voor x gaat naar nul voor ((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x
Ik zou zeggen dat, als x bijna nul is, deze limiet naar 0 zou moeten gaan. Je krijgt in die situatie namelijk boven de breuk 2 - 2, en onder de bruik maakt het dan al niet meer uit omdat de teller gelijk is aan 0. Het antwoordenblad zegt echter dat het antwoord 1/32e is. Hoe kom ik hier op?

Ik denk dat het:

moet zijn, want even verder schrijf je: ...boven de breuk 2 - 2, ...
En er komt echt 1/32 uit.

Mooi gezien, SafeX.
ItsGavril, graag gedaan, voor mijn bijdrage. Er is nog (minstens) 1 andere methode om de limiet te bepalen, met de
regel van l'hôpital.
Stel:


Er geldt, voor deze limiet:

en


Dus


Met de regel van l'hopital geldt nu: