Aantal combinatie vraag stukken

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Celena
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 21 okt 2021, 20:23

Aantal combinatie vraag stukken

Bericht door Celena » 16 jan 2022, 23:21

Wie weet de oplossing van onderstaande vragen?:

A: Simone heeft twaalf bordspellen. Ze stelt een top-5 samen.
Op hoeveel manieren kan dat?

B: Bij een spellentoernooi staan 56 genummerde stoelen. Er komen 23 spelers de zaal binnen. Elke speler neemt plaats op een stoel.
Op hoeveel manieren kan dat?

C: Voor een spelavond nemen zes vriendinnen ieder een verschillend bordspel mee. Ze zullen elk spel één keer spelen.
Hoeveel volgorden zijn mogelijk?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3709
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Aantal combinatie vraag stukken

Bericht door arie » 17 jan 2022, 07:52

Celena schreef: A: Simone heeft twaalf bordspellen. Ze stelt een top-5 samen.
Op hoeveel manieren kan dat?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de eerste plaats in de top 5?
Als je nummer 1 gekozen hebt, zijn er nog 11 spellen over voor de tweede plaats.
Als je nummer 1 en 2 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de derde plaats?
Als je nummer 1, 2 en 3 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de vierde plaats?
Als je nummer 1, 2, 3 en 4 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de vijfde plaats?
Hoeveel verschillende top-vijven zijn er dus mogelijk?

Celena schreef: B: Bij een spellentoernooi staan 56 genummerde stoelen. Er komen 23 spelers de zaal binnen. Elke speler neemt plaats op een stoel.
Op hoeveel manieren kan dat?
Aangenomen dat ze bedoelen dat alle spelers verschillend zijn (speler A op stoel 5 en speler B op stoel 12 is wat anders dan speler B op stoel 5 en speler A op stoel 12):
[oplossing 1]: net als opgave A:
voor speler A zijn er 56 mogelijkheden
voor speler B blijven er dan 56-1 over,
voor speler C blijven er dan 56-2 over,
...
voor speler W blijven er dan 56-22 over,
In totaal geeft dit 56 * (56-1) * (56-2) * . . . * (56-22) = 56 * 55 * 54 * . . .. * 34 = 56! / ...! oplossingen

[oplossing 2]:
Er zijn \({56 \choose 23}\) mogelijkheden om de 23 stoelen waar de spelers op komen te zitten te kiezen.
Dan zijn er per mogelijke keuze nog 23! manieren om de spelers op die (genummerde) stoelen te plaatsen.
Hoeveel mogelijke plaatsingen van de spelers op 23 stoelen zijn er dus in totaal?
Klopt het dat dit hetzelfde aantal is als we vonden bij [oplossing 1]?

Celena schreef: C: Voor een spelavond nemen zes vriendinnen ieder een verschillend bordspel mee. Ze zullen elk spel één keer spelen.
Hoeveel volgorden zijn mogelijk?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het eerste spel dat ze spelen?
Hoeveel mogelijkheden blijven er dan nog over voor het tweede spel?
En hoeveel daarna voor het derde spel?
etc.
Wat is hier dus het antwoord?

Celena
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 21 okt 2021, 20:23

Re: Aantal combinatie vraag stukken

Bericht door Celena » 18 jan 2022, 15:40

A: Simone heeft twaalf bordspellen. Ze stelt een top-5 samen.
Op hoeveel manieren kan dat?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de eerste plaats in de top 5?: Antwoord: 12
Als je nummer 1 gekozen hebt, zijn er nog 11 spellen over voor de tweede plaats. Antwoord: 11
Als je nummer 1 en 2 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de derde plaats?: Antwoord: 10
Als je nummer 1, 2 en 3 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de vierde plaats?: Antwoord: 9
Als je nummer 1, 2, 3 en 4 gekozen hebt, hoeveel mogelijkheden heb je dan voor de vijfde plaats?: Antwoord: 8
Hoeveel verschillende top-vijven zijn er dus mogelijk?: Antwoord: 12*11*10*9*8=95040
B: Bij een spellentoernooi staan 56 genummerde stoelen. Er komen 23 spelers de zaal binnen. Elke speler neemt plaats op een stoel.
Op hoeveel manieren kan dat?
Aangenomen dat ze bedoelen dat alle spelers verschillend zijn (speler A op stoel 5 en speler B op stoel 12 is wat anders dan speler B op stoel 5 en speler A op stoel 12):
[oplossing 1]: net als opgave A:
voor speler A zijn er 56 mogelijkheden
voor speler B blijven er dan 56-1 over,
voor speler C blijven er dan 56-2 over,

voor speler W blijven er dan 56-22 over,
In totaal geeft dit 56 * (56-1) * (56-2) * . . . * (56-22) = 56 * 55 * 54 * . . .. * 34 = 56! / (56-34)! oplossingen

[oplossing 2]:
Er zijn (56) mogelijkheden om de 23 stoelen waar de spelers op komen te zitten te kiezen.
23
Dan zijn er per mogelijke keuze nog 23! manieren om de spelers op die (genummerde) stoelen te plaatsen.
Hoeveel mogelijke plaatsingen van de spelers op 23 stoelen zijn er dus in totaal? Antwoord: (56! / (56 - 23)! = 8.188098363055705e+37)

Klopt het dat dit hetzelfde aantal is als we vonden bij [oplossing 1]?
C: Voor een spelavond nemen zes vriendinnen ieder een verschillend bordspel mee. Ze zullen elk spel één keer spelen.
Hoeveel volgorden zijn mogelijk?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het eerste spel dat ze spelen?: Antwoord: 6
Hoeveel mogelijkheden blijven er dan nog over voor het tweede spel? : Antwoord: 5
En hoeveel daarna voor het derde spel?: Antwoord: 4
En hoeveel daarna voor het vierde spel?: Antwoord: 3
En hoeveel daarna voor het vijfde spel?: Antwoord: 2
En hoeveel daarna voor het Zesde spel?: Antwoord: 1
Wat is hier dus het antwoord?: Antwoord: 6*5*4*3*2*1=720 <--(6! = 720)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3709
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Aantal combinatie vraag stukken

Bericht door arie » 18 jan 2022, 17:17

Opgave A: Correct.
Je had dit antwoord ook kunnen schrijven als:
\(12*11*10*9*8 = \frac{12!}{7!} (= 95040)\)


Opgave B, [oplossing 1]:
Bijna goed: je schreef 56!/(56-34)! = 56!/22!, maar dit moet zijn 56!/(56-23)! = 56!/33!
(keuze van 23 stoelen uit 56 stoelen, waarbij de volgorde belangrijk is (A krijgt de eerste gekozen stoel, B de tweede, etc.)
Je hebt dus dit aantal mogelijkheden:
\(56 * 55 * 54 * ... * 36*35*34\)
vermenigvuldig dit product met 33!/33!.
(33!/33! = 1, dus het antwoord verandert hierdoor niet):
\(=56*55*54* ... *36*35*34*\frac{33*32*31*...*3*2*1}{33*32*31*...*3*2*1}\)
De factoren voor de breuk mag je naar de teller van de breuk brengen:
\(=\frac{56*55*54* ... *36*35*34\;\;*\;\;33*32*31*...*3*2*1}{33*32*31*...*3*2*1}\)
en hier staat het antwoord:
\(=\frac{56!}{33!}\)

NOOT: dit is vergelijkbaar met het antwoord van opgave A:
Als je 5 uit 12 moet kiezen waarbij de volgorde van je keuze belangrijk is, dan is het aantal
mogelijkheden \(12*11*10*9*8 = \frac{12!}{(12-5)!} = \frac{12!}{7!}\)

Opgave B, [oplossing 2]:
OK! (en dit is nu het zelfde als we hierboven vonden bij [oplossing 1].)

Opgave C: OK!


PS:
Meestal mag je antwoorden in faculteiten laten staan,
dus bij opgave A: 12!/7!, bij opgave B: 56!/33! en bij opgave C: 6!
Dit is doorgaans duidelijker dan het uiteindelijke getal (bovendien worden faculteiten al snel heel groot:
56!/33! = 81880983630557021391757417709568000000, jouw rekenmachine geeft hiervoor slechts een benadering).
Maar vraag even na of jij dat op school / in je cursus ook mag doen.

Celena
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 21 okt 2021, 20:23

Re: Aantal combinatie vraag stukken

Bericht door Celena » 18 jan 2022, 17:44

Bedankt voor de duidelijke uitleg.

Plaats reactie