inhoud berekenen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
LaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 12 okt 2022, 21:33

inhoud berekenen

Bericht door LaLa » 18 mei 2023, 20:04

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling van de kromme met vergelijking y=x^3 voor X element van [0,1] om de as met vergelijking x=1.
Kan iemand mij hierbij helpen men moet gebruik maken van integralen

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3905
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: inhoud berekenen

Bericht door arie » 19 mei 2023, 08:24

Afbeelding

Stap 1: Schuif alles 1 eenheid naar links, zodat de omwentelings-as samenvalt met de y-as (= de lijn x=0):
De grafiek van f (blauw in bovenstaand plaatje) gaat dan over in de grafiek van g (groen), waarvoor geldt:
\(g(x) = f(x+1) = (x+1)^3\)
ofwel
\(g: \;\; y = (x+1)^3\)
Hierbij loopt x nu van -1 t/m 0.

Stap 2: herschrijf g als functie van y:
\(g: \;\; x =\; ...\)
ofwel
\(g(y) = \; ...\)
Voor elke gegeven hoogte y kunnen we hiermee de bijbehorende waarde van x bepalen

Stap 3: Bereken het volume V met de formule
\(\displaystyle V = \int_{y=c}^{y=d} \pi \cdot \left(g(y)\right)^2 \;\; dy\)
Bepaal daarvoor eerst de integratiegrenzen c en d (als x loopt van -1 t/m 0, welke waarden kan y dan aannemen?)
Bereken dan de integraal.

Het idee is dat je het omwentelingslichaam kan zien als een stapel ronde schijven (zoals damschijven),
elke schijf met een grondvlak met straal \(r = |g(y)|\) dus oppervlak \(A=\pi r^2 = \pi \cdot (g(y))^2\),
en elk met hoogte \(\Delta y\)
Het volume van een schijf op hoogte y wordt dan gegeven door \(V_{schijf}= \pi \cdot (g(y))^2 \cdot \Delta y\)
Het gevraagde volume V van het volledige omwentelingslichaam is dan de som van y=c tot y=d van de volumina van al die schijven, waarbij we hoogte \(\Delta y\) zo klein mogelijk maken = richting nul laten gaan = \(dy\).
Dat geeft dan bovenstaande integraal.


Hoe ver kom je hiermee?

Plaats reactie