Hoeveel water in het blikje?

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 25 jan 2024, 18:57

Een blikje ligt op een helling en is zo ver als mogelijk gevuld met water.
Afmetingen vind je in onderstaande figuur:

Afbeelding

Vraag: hoeveel water zit er in het blikje?

Als het blikje ietsje langer was of ietsje rechter stond (zodat de volledige bodem bedekt zou zijn met water), zou het makkelijk zijn. Maar nu is er dat bodemsegmentje dat droog staat, en ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken...

Eerst dacht ik dat het zo eenvoudig was als 'oppervlakte grondvlak x hoogte', maar dan weet ik niet wat ik als 'hoogte' moet gebruiken...

Daarna heb iets geprobeerd zoals in onderstaande figuur.

Afbeelding

Het volume van het cilindrische deel is snel gevonden, maar dat kleine 'extra stukje'... ho maar... :?

Heeft iemand een hint voor mij???

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door arie » 26 jan 2024, 11:53

Afbeelding

(a) zet het blikje rechtop:
Maak een assenstelsel als in figuur (a) en roteer de figuur over een hoek \(\alpha\), zodanig dat de lijn OP samenvalt met de z-as. De normaalvector van vlak V = het vlak van de waterspiegel roteert daarbij mee over dezelfde hoek.

(b) schuif het blikje 6 eenheden naar rechts:
De lengte-as van het blikje valt daarna samen met de z-as.
De huidige normaalvector van grensvlak V hadden we al bij (a) bepaald en V loopt nu door het punt P = (6, 0, 15). Hiermee kunnen we V (= de bovengrens van het water) volledig definieren

Via de integraalrekening bepaal je tenslotte de waterhoeveelheid W:

\(\displaystyle W = \int_{x=x_{min}}^{x_{max}} \int_{y=-\sqrt{36-x^2}}^\sqrt{36-x^2} \int_{z=0}^{bovengrens} 1 \;dz\;dy\;dx\)


Lukt het hiermee?

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 26 jan 2024, 15:57

Bedankt voor het antwoord, arie!

Ik voelde het aankomen... Integralen... En dan nog 3 stuks na mekaar. :shock:
Waarschijnlijk gaat dit mijn petje te boven, maar ik doe een poging. :wink:

Om te beginnen: ik vermoed dat de 1 in jou formule moet vervangen worden door de vergelijking van de rechte uit onderstaande afbeelding.

Afbeelding

Daarvoor vind ik:
\(f(x)=\frac{4x}{3}+7\)

De bovengrens voor z lijkt mij 15 te zijn.

Als onder- en bovengrens voor x vind ik -5.25 en 6.

Nu loop ik een beetje vast op de grenzen voor z.
Waarom staan die als een functie van x?
Ik zou daar (intuïtief) -6 en 6 willen gebruiken.

De oplossing wordt dan:

(hoe krijg ik spaties tussen dz, dy en dx in bovenstaande formule?)

Als ik dat door mijn solver (MS Mathematics) haal, dan krijg ik , en dat is absoluut onmogelijk.
(Desgewenst kan ik uitleggen waarom ik daar zo zeker van ben.)
Ligt het aan die y-grenzen? Of zitten er nog meer fouten in mijn oplossing?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door arie » 26 jan 2024, 19:44

Om te beginnen: ... de vergelijking van de rechte uit onderstaande afbeelding.
In figuur (b) is de formule voor het bovenvlak:

\(V: \;z = f(x, y)=\frac{4x}{3}+7\)

Jouw lijn \(f(x)=\frac{4x}{3}+7\) is de doorsnede van V met het vlak \(y = 0\) (= het vlak opgespannen door de x-as en de z-as).

Deze twee functievoorschriften zijn hetzelfde omdat de y-as parallel loopt aan V, maar we werken hier met het hele bovenvlak als begrenzing van het water (dus overal de begrenzing naar boven, afhankelijk van een gegeven x en y).

... ik vermoed dat de 1 in jou formule moet vervangen worden door ...
Als onder- en bovengrens voor x vind ik -5.25 en 6.
De bovengrens voor z lijkt mij 15 te zijn.
Losjes gezegd:
Voor elk klein vierkantje \(dx \times dy\) in het grondvlak (= x-y vlak) kijken we naar de hoogte van de kolom (= z = f(x, y)), uitgedrukt in eenheden dz. De drievoudige integraal sommeert (telt) het aantal kubusjes, elk met inhoud \(dx \times dy \times dz\).
Zouden we overal de maximale waarde voor z op 15 stellen, dan sommeer je elk van de kolommen van z=0 tot z=15, dus overal over de volledige hoogte van het blikje, en dat is niet onze bedoeling.
De 1 komt van 1 volume-eenheid \(dx \times dy \times dz\), en de sommatie telt hoeveel van die kubusjes er zijn. De integraal bepaalt zo het totale volume: het aantal eenheden \(\times\) het volume van elke eenheid.

Dit levert voor dit probleem:

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \int_{y=-\sqrt{36-x^2}}^\sqrt{36-x^2} \int_{z=0}^{\frac{4}{3}x + 7} 1 \;dz\;dy\;dx\)

We werken eerst de binnenste integraal uit. De primitieve van 1 naar z is z:

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \int_{y=-\sqrt{36-x^2}}^\sqrt{36-x^2} \begin{bmatrix} z \end{bmatrix}_0^{\frac{4}{3}x + 7} \;dy\;dx\)

vervolgens vullen we de grenzen in:

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \int_{y=-\sqrt{36-x^2}}^\sqrt{36-x^2} \left(\frac{4}{3}x + 7 - 0\right) \;dy\;dx\)

En dit ziet er waarschijnlijk al wat bekender uit: hier staat:
"voor x binnen de gegeven grenzen sommeren we (voor y binnen de gegeven grenzen sommeren we (deze functie van x en y))"
Merk op: dit is nog steeds een functie van x en y, alleen vanuit y bezien is het hier een constante functie (er komt geen y voor in het functievoorschrift).

Voor y geldt een soortgelijk verhaal als voor z hierboven: als we y zouden laten lopen van -6 tot 6, dan krijgen we als grondvlak geen cirkel, maar een rechthoek, begrensd door y=-6 en y=6.
De correcte begrenzing van y wordt gegeven door een cirkel (= het grondvlak van het blikje),
de waarde van deze grenzen kunnen we voor elke gegeven x berekenen uit de cirkelformule :
\(y_{min/max} = \pm \sqrt{r^2 - x^2}\) (waarbij r = de straal van de cirkel).

In een plaatje:

Afbeelding

op elk vierkantje staat een waterkolom met hoogte z = f(x, y),
De drievoudige integraal levert de sommatie voor al die volumina.

We hadden al gezien dat de integrand een constante functie is gezien vanuit y,
dus de primitieve is diezelfde constante maal y:

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \left[\left(\frac{4}{3}x + 7\right)\cdot y \right]_{y=-\sqrt{36-x^2}}^\sqrt{36-x^2} \;dx\)

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \left(\left(\frac{4}{3}x + 7\right)\cdot \sqrt{36-x^2} \;\;-\;\; \left(\frac{4}{3}x + 7\right)\cdot \left(-\sqrt{36-x^2}\right) \right) \;dx\)

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \left( 2\cdot\left(\frac{4}{3}x + 7\right)\cdot \sqrt{36-x^2}\right) \;dx\)

\(\displaystyle W = \int_{x=-5.25}^6 \left( \frac{8}{3}x\cdot \sqrt{36-x^2} + 14\cdot \sqrt{36-x^2}\right) \;dx\)

En nu houden we een enkelvoudige integraal in x over, die we met geschikte substituties kunnen oplossen.

hoe krijg ik spaties tussen dz, dy en dx in bovenstaande formule?
In LaTeX is een spatie de twee karakter combinatie \;
Noot: je kan met je rechter muisknop op een formule klikken, kies dan in het pop-up menu "Show Math As:" en vervolgens "TeX Commands", dan krijg je de betreffende regel in LaTeX code.

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 26 jan 2024, 20:58

Dit ga ik toch een paar keer stevig moeten herkauwen... :D
Alvast erg bedankt voor de uitgebreide uitleg!

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 27 jan 2024, 22:14

Ik denk dat ik het helemaal begrijp. Of... toch voldoende om aan de slag te gaan met wat variaties.
Weet je nog? Het 'kleine extra stukje' uit mijn start-post in dit topic? Wel... dat heb ik nu ook kunnen berekenen. :D

arie schreef:
26 jan 2024, 19:44
... die we met geschikte substituties kunnen oplossen.
(integraal van som = som van integralen)
Voor de linkse integraal gebruik ik: \(t=36-x^2\)
en voor de rechtse gebruik ik: \(x=6\sin(t)\)
Daarmee lukt het probleemloos om het zaakje op te lossen. :D

@arie: echt waar man... 100 kudos voor jou :wink:

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 01 feb 2024, 14:43

Om mijn begrip van bovenstaande theorie te testen, wil ik het volume van een piramide berekenen.
Ik plaats daarvoor een piramide (met ruitvormig grondvlak) op het XY-vlak, die ik dan 'vierendeel'.

Afbeelding

(Ja, ik weet het... )

De grenzen van de integralen zijn:
- x gaat van 0 tot B
- y gaat van 0 tot de rechte door B en C
- z gaat van 0 tot het vlak door B, C en D

Voor ik dit verder uitwerk, wil ik graag weten of dit tot nu toe juist is...

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door arie » 01 feb 2024, 16:09

klopt.

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 03 feb 2024, 12:07

De berekening voor de piramide ging vrij makkelijk.
Het viel mij op dat de waarden voor x, y en z de hele tijd 'goed zichtbaar' bleven, wat mij op een krankzinnig idee bracht: zou ik dit ook parametrisch kunnen oplossen? En ook dat was vrij makkelijk. :D

Ik wil nu nog één stapje verder gaan, en het blikje uit de start-topic vervangen door een conische beker (afgesneden kegel).
Ik ben er al even mee bezig geweest, en merk dat er wat 'speciale uitdagingen' inzitten.
Als ik specifieke vragen heb, zal ik ze hier plaatsen...

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 12 feb 2024, 17:04

Dit blijkt toch een stuk moeilijker te zijn dan ik gedacht (lees: gehoopt) had...
Hieronder een voorbeeld, en een plaatje van hoe ik het wou aanpakken:

Afbeelding

Afbeelding

Zoals je ziet: ook mijn solver raakt er niet uit...
Daarom een eerste vraag: kloppen mijn integralen?

En indien ja: kan dit überhaupt op deze manier opgelost worden?

(Toch nog even ter verduidelijking: ik wil uiteindelijk de inhoud van een schuin afgesneden kegel kunnen berekenen.)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door arie » 12 feb 2024, 20:35

De solver loopt vast op de noemer binnen de \(\tan^{-1}()\) functie: die gaat naar nul.

De kern van het probleem is dit gedeelte van de berekening:

\(\displaystyle\int \sqrt{r^2-y^2}\;dy\)

Hier een route die wel naar de oplossing leidt:

Substitueer

\(y=r\sin u\)

dan is

\(dy = r\cos u\; du\)
\(u = \sin^{-1}\frac{y}{r}\)
\(\sqrt{r^2-y^2} = \sqrt{r^2-r^2 \sin^2 u} = r\cos u\)

waarmee de integraal overgaat in

\(\displaystyle\int r^2 \cos^2u\;du\)

\(=\displaystyle\int \frac{1}{2}r^2 (1+\cos 2u)\;du\)

\(= \left[ \frac{1}{2}r^2u + \frac{1}{2}r^2 \frac{1}{2}\sin 2u \right]\)

\(= \left[ \frac{1}{2}r^2u + \frac{1}{2}r^2 \sin u \;\cos u \right]\)

Nu terug naar y en daarna de integratiegrenzen invullen.

Kom je er zo uit?

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 13 feb 2024, 15:42

arie schreef:
12 feb 2024, 20:35
Kom je er zo uit?
Nou... en of! :D

Het volume van de (kwart)kegel in bovenstaand voorbeeld is:



waarbij:

Stel:
dan:
en de grenzen:
wordt
wordt

We krijgen nu:

\(
\begin{equation}
\begin{split}
V&=\int_{x=0}^9\int_{u=0}^{\pi/2}\sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^2(u)}\;r\cos(u)\;du\;dx\\\\
&=\int_{x=0}^9\int_{u=0}^{\pi/2}r\;\sqrt{1-\sin^2(u)}\;r\cos(u)\;du\;dx\\\\
&=\int_{x=0}^9r^2\int_{u=0}^{\pi/2}\;\cos^2(u)\;du\;dx\\\\
&=\int_{x=0}^9\left(\frac{x}{3}\right)^{2}\left[\frac{1}{2}\left(x+\sin(u)\cos(u)\right) \right]_{u=0}^{\pi/2}dx\\\\
&=\int_{x=0}^9\frac{x^{2}}{9}\cdot\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2})\right)-\left( 0+\sin(0)\cos(0)\right)\right)\;dx\\\\
&=\frac{1}{18}\int_{x=0}^9x^2\left(\left(\frac{\pi}{2}+1\cdot0\right)-\left(0+0\cdot1\right)\right)dx\\\\
&=\frac{1}{18}\int_{x=0}^9x^2\frac{\pi}{2}dx\\\\
&=\frac{\pi}{36}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^9\\\\
&=\frac{\pi}{36}\left(\frac{9^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)\\\\
&=\frac{27}{4}\pi
\end{split}
\end{equation}
\)


en dat klopt perfect! :D

Wie is er ooit op die geniale substitutie gekomen?
Is dat een kwestie van willekeurig wat proberen tot het lukt, of kan er toch iets gerichter gezocht worden?

En ten slotte de laatste stap: schuin afsnijden...
Voor ik er aan begin, even de vraag: kan dat berekend worden met bovenstaande methode?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door arie » 22 feb 2024, 11:44

Wie is er ooit op die geniale substitutie gekomen?
Is dat een kwestie van willekeurig wat proberen tot het lukt, of kan er toch iets gerichter gezocht worden?

En ten slotte de laatste stap: schuin afsnijden...
Voor ik er aan begin, even de vraag: kan dat berekend worden met bovenstaande methode?
Er zijn een aantal integratieregels en -technieken, maar die leiden niet altijd tot resultaat.
Oefening en intuitie helpen wel, maar zijn geen garantie voor succes.
Indien je er niet uit komt kan je nog zoeken in lijsten met veel voorkomende integralen, zoals
https://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals
of je toevlucht nemen tot symbolische rekenprogramma's.
Werkt ook dat niet, dan hebben we altijd nog de mogelijkheid om de integraal numeriek te bepalen.


Voorbeeld:
Het volume (lichtblauw) begrensd door een kegel K (zwart/blauw) en een vlak V (rood):

Afbeelding

\(K: x^2 + y^2 = \left[ \frac{1}{3}(9-z)\right]^2\)
\(V: x + 2z -3 = 0\)

Het grensvlak tussen de kegel en het vlak is een ellips (met lange as = AP), de integratiegrenzen van x en y worden gevormd door de projectie van deze ellips op het x-y-vlak (ook weer een ellips, lange as = QP = blauw).
De ondergrens van z is het vlak, de bovengrens de kegel.
Ik kom zo uit op een volume van 51.206086... kubieke eenheden.

PS: Het algemene geval (kegel K en vlak V) kan je terugbrengen tot bovenstaand plaatje door rotatie om de z-as zodanig dat de normaalvector van V in het x-z-vlak belandt, gevolgd door translatie in z-richting zodanig dat
snijpunt P in het x-y-vlak valt.

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 24 feb 2024, 17:18

Bedankt arie, voor weer een prachtige uitleg!

Ik wil dit nieuwe vraagstuk 'from scratch' oplossen. Dus vertrekkende van enkel de vergelijkingen voor kegel K en vlak V.
Ik heb daarvoor jou afbeelding gepikt, en er een paar aanpassingen in aangebracht...

Afbeelding

Gegeven:



Gevraagd:
Bereken het volume van het lichaam dat begrensd wordt door K en V.

Oplossing:
Het linkse gedeelte van de afbeelding ligt op het xz-vlak met y=0. Die y-coördinaat geldt voor alle punten in de afbeelding.
P ligt op de x-as, dus z=0
Invullen in K of V geeft x=3, en dus
H ligt op de z-as, dus x=0
Invullen in K geeft z=9, en dus
Met punten P en H vinden we
g is de spiegeling van f over de z-as, dus
B ligt op de z-as, dus x=0
Invullen in V geeft , en dus
Met punten P en B vinden we
A is het snijpunt van g en h. Dat geeft
Q ligt op de x-as loodrecht onder A, dus
K ligt op de x-as en is het middelpunt tussen P en Q.
Dat geeft
De afstand tussen K en P is de lange straal van de geprojecteerde ellips.
Dat geeft
De afstand tussen O en K noem ik N.
Dat geeft
Hiermee kan de korte straal van de geprojecteerde ellips gevonden worden. (zie afbeelding)
Dat geeft
De vergelijking voor een ellips is
De gevonden waarden invullen en het resultaat wat opruimen geeft:
Tijd om de integratiegrenzen te bepalen...
x gaat van Q tot P, dus van tot 3
De y-grenzen worden bepaald door de geprojecteerde ellips. Daar moet ik dus y uit isoleren, en dat geeft:

De z-grenzen worden bepaald door K en V. Daar moet ik dus z uit isoleren, en dat geeft:



De 3-integraal is dan:


Als ik dat door mijn solver haal, dan krijg ik een draak van één integraal in x :?
Daar zal dus nog wat aan gesleuteld moeten worden, maar ik heb nog geen idee wat/waar/hoe...

Opmerking: Ik maak nergens gebruik van punt M. Ik denk nochtans het er niet voor niets staat...

En ten slotte dit:
arie schreef:
22 feb 2024, 11:44
Ik kom zo uit op een volume van 51.206086... kubieke eenheden.
Ik heb de kegel even in Fusion360 gegooid, en kijk... :D
Afbeelding

Janosik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 26 jul 2020, 18:03

Re: Hoeveel water in het blikje?

Bericht door Janosik » 24 feb 2024, 17:32

Nog even dit:
arie schreef:
22 feb 2024, 11:44
... lijsten met veel voorkomende integralen, zoals
https://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals
Hier is er nog één die wat uitgebreider is:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lijst_van_integralen

Plaats reactie