Analytische meetkunde

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
MDB
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 19 nov 2022, 12:02

Analytische meetkunde

Bericht door MDB » 11 mei 2024, 14:35

Kan iemand mij bij deze vraag helpen, want weet niet goed hoe ik eraan moet beginnen.

Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2,3) en die op een afstand van 3 ligt van de oorsprong.
Bij de uitkomst staat er dat het y=3 en 12x+5y-39 is.

Alvast bedankt.
MDB

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3921
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Analytische meetkunde

Bericht door arie » 11 mei 2024, 19:44

Noem de lijn die we zoeken l:
\(l: y=ax+b\)
Punt A = (2, 3) ligt op l, dan moet gelden:
\(3 = 2a + b\)
ofwel:
\(b=3 - 2a\)
We kunnen l nu dus ook schrijven als
\(l: y=ax - 2a + 3\)
Nu zoeken we alleen a nog maar (als we a hebben, dan weten we b = 3-2a ook).

Het tweede punt van l ligt op afstand 3 van de oorsprong.
Alle punten die een afstand 3 tot de oorsprong hebben liggen op cirkel C:
\(C: x^2 + y^2 = 3^2\)
Snij nu lijn l met deze cirkel C:
\(x^2 + (ax - 2a + 3)^2 = 3^2\)

Dit levert een tweedegraadsvergelijking in x.
- Als er 2 verschillende oplossingen zijn voor x, dan snijdt l de cirkel in 2 punten.
- Als er geen oplossingen zijn voor x, dan hebben l en C geen punten gemeenschappelijk.
- Als er 1 oplossing is voor x, dan raakt lijn l cirkel C, en in dat geval is de afstand van l tot het middelpunt van C (= de oorsprong) gelijk aan de straal van C = 3.

Gebruik de abc-formule en kijk wanneer er precies 1 oplossing bestaat voor x.
Dat zal je de mogelijke waarden van a gaan geven.

Kom je er zo uit?

MDB
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 19 nov 2022, 12:02

Re: Analytische meetkunde

Bericht door MDB » 12 mei 2024, 11:06

Waarom spreken we hier over een cirkel C ? Ben daar nog niet goed mee mee...

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3921
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Analytische meetkunde

Bericht door arie » 12 mei 2024, 12:14

Afbeelding

Een cirkel wordt gevormd door alle punten die op een afstand r (= de straal) van middelpunt M liggen.
In bovenstaand plaatje is M = (3, 2) en is r = 5.
Als we kijken naar een (willekeurig) punt P op de cirkel, dan is
- de horizontale afstand van M tot P = | Px - Mx | = |MQ| = a in het plaatje, en is
- de verticale afstand van M tot P = | Py - My | = |PQ| = b.

Omdat a en b loodrecht op elkaar staan, is hoek MQP = 90°, en is MQP (geel) een rechthoekige driehoek.
Dan geldt volgens de stelling van Pythagoras:
\(a^2 + b^2 = r^2\)
ofwel (met bovenstaande resultaten):
\((Px - Mx)^2 + (Py-My)^2 = r^2\)

Niet alleen voor P, maar voor alle punten (x, y) op de cirkel moet dus gelden:
\((x - Mx)^2 + (y-My)^2 = r^2\)
en dit is de algemene vergelijking voor een cirkel met middelpunt M en straal r.

In jouw vraagstuk is M = de oorsprong = (0, 0) en is r = 3.
Dit geeft:
\((x - 0)^2 + (y-0)^2 = 3^2\)
ofwel
\(x^2 + y^2 = 9\)
Alle punten met afstand 3 tot de oorsprong voldoen aan deze vergelijking,
en alle punten die aan deze vergelijking voldoen hebben afstand 3 tot de oorsprong.

De lijnen die we zoeken moeten dus raken aan deze cirkel.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3921
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Analytische meetkunde

Bericht door arie » 12 mei 2024, 12:44

Afbeelding

Hier nog een plaatje voor jouw probleem:
- de groene lijn snijdt cirkel C in 2 punten en heeft een afstand (loodrecht) tot de oorsprong < 3
- de paarse lijn heeft geen gemeenschappelijke punten met de cirkel, en heeft een afstand tot de oorsprong > 3
- de blauwe lijnen raken de cirkel en hebben daarom een afstand 3 tot de oorsprong.

Plaats reactie