Wiskundeforum

Hey

Ter voorbereiding heb ik enkele oefeningen van vroegere ijkingstoetsen burgerlijk ingenieur gemaakt. Bij deze vraag heb ik echter geen manier gevonden om tot het juist antwoord te komen:

"Om twee wielen te koppelen in een aandrijfsysteem, wordt een riem gebruikt. De stralen van deze wielen zijn respectievelijk 20cm en 5cm, en de afstand tussen de centra van de wielen bedraagt 30cm (zie figuur). Bereken de lengte van de riem."
De vraag met afbeelding is te vinden op deze link (pagina 12): https://www.ijkingstoets.be/content/fee ... 2-ir-1.pdf

Het antwoord is 30*(π + √(3)), maar ik weet niet hoe je er aan komt.
Indien iemand zou kunnen uitleggen hoe je hieraan komt, zou dat zeer geapprecieerd zijn!
Dank bij voorbaat

Wat heb je zelf bedacht ...

Ik had de figuur in drie delen gedeeld, namelijk (I) de halve cirkel met straal 20cm; (II) de halve cirkel met straal 5cm; (III) de twee rechte stukken tussen de cirkels.
De omtrek voor (I) = (2*20*π)/2 = 20π
Idem voor (II): (2*5*π)/2 = 5π
Voor (III) heb ik de stelling van pythagoras gebruikt: x^2 = 30^2 + (20 - 5)^2
x^2 = 4*15^2 + 15^2
x = √(5*15^2)
x = 15√(5)
Je hebt een boven- en onderstuk, dus (III) = 30√(5)
De lengte van de riem is dan (I) + (II) + (III) = 20π + 5π + 30√(5) = 25π + 30√(5)
Wat dus verkeerd is

Ok, dat zou kloppen als het twee halve cirkels zijn, maar de band raakt aan de cirkel ...

Bepaal de hoek van de straal met de verticaal, de straal staat loodrecht de band in het raakpunt ...

Ik denk dat ik de oplossing heb gevonden.
De riem raakt dus de cirkels. Dus moet je de raaklijn aan beide cirkels opstellen. Het raakpunt met de grote cirkel zal zich rechts van het middelpunt van de cirkel bevinden, en dus een hoek t vormen tussen de normaal in het raakpunt en de verticale as, dus de riem is rond de cirkel voor π/2 + t (ik bereken eerst voor het bovenste deel). Bij de kleine cirkel is er eenzelfde redenering, waardoor de riem rond de cirkel is voor π/2 - t. Ik deel de bovenste helft dus opnieuw in 3 delen: (I) de riem rond de grote cirkel voor de hoek π/2 + t; (II) de riem rond de kleine cirkel voor π/2 - t; (III) het rechte deel tussen de raakpunten van de raaklijn aan de cirkels.
(I) en (II)
Eerst moeten we de t proberen te berekenen. Hiervoor laat ik de raaklijn doorlopen tot het de horizontale as snijdt in S.
We noemen het raakpunt in de grote cirkel R en in de kleine cirkel R'. Het middelpunt van de grote cirkel is M en van de kleine cirkel M'. Enkele afstanden: |RM| = 20; |R'M'| = 5; |MS| = 30 + x; |M'S| = x. We hebben nu twee gelijkvormige, rechthoekige driehoeken, namelijk ∆MRS, met hoek MRS = π/2 en ∆M'R'S met hoek M'R'S = π/2. Hiervoor geldt de stelling van Thales: |RM|/|MS| = |R'M'|/|M'S| => 20/(30 + x) = 5/x. Voor x komen we dus 10 uit.
Om t te berekenen kunnen we gebruik maken van de complementaire hoek van t in de kleine cirkel, want hoek R'M'S = π/2 - t
Dan geldt: cos(π/2 - t) = 5/10 => π/2 - t = arccos(1/2) = π/3 => t = π/6.
Dus kunnen we (I) en (II) berekenen:
(I) = 20 * (π/2 + π/6) = 20 * 2π/3 = 40π/3
(II) = 5 * (π/2 - π/6) = 5 * π/3 = 5π/3
(I) + (II) = 45π/3 = 15π

(III)
De lengte van het rechte stuk = |RR'| = |RS| - |R'S|
|RS| = √(40^2 - 20^2) = √(4*20^2 - 20^2) = √(3*20^2) = 20√(3)
|R'S| = √(10^2 - 5^2) = √(4*5^2 - 5^2) = √(3*5^2) = 5√(3)
|RR'| = 20√(3) - 5√(3) = 15√(3)

De totale lengte van het bovenstuk is dus (I) + (II) + (III) = 15π + 15√(3) = 15*(π + √(3))
De lengte van de riem (boven- en onderstuk) is dus 2*15*(π + √(3)) = 30(π + √(3))

Heel erg bedankt voor je tip over dat raken, anders had ik het waarschijnlijk nooit gevonden!

Fantastisch, je berekening van de hoek die ik noemde kan eenvoudiger ...
Teken vanuit centrum kleine cirkel een lijn loodrecht bedoelde straal, wat weet je nu van de rechthoekige driehoek die je zo verkrijgt ...

Inderdaad, als ik het goed voorheb, heb je dan de rechthoekige driehoek met schuine zijde 30 en overstaande zijde 15 (ten opzichte van de hoek tussen de horizontale as en die rechte loodrecht op de bedoelde straal). De sinus van die hoek is dus 15/30 = 1/2, dus de hoek is π/6. Die hoek is ook gelijk aan t (de hoek van de straal met de verticaal, de straal staat loodrecht de band in het raakpunt)
dus t = π/6

Nog eens bedankt voor uw hulp!

Ok, succes verder.