Wiskundige vraag belspelletje

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Rianne
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 02 apr 2020, 15:57

Wiskundige vraag belspelletje

Bericht door Rianne » 02 apr 2020, 16:11

Ik heb een wiskundige vraag die me al een aantal dagen bezighoudt:

Stel je hebt een belspelletje, waarbij elke tiende beller wordt doorverbonden. Wat is dan het gemiddeld aantal keer dat iemand moet bellen om uiteindelijk één keer doorverbonden te worden? (Je belt net zo lang tot je doorverbonden wordt en stopt met bellen nadat je één keer doorverbonden bent.)

Ik kwam zelf niet verder dan dit:
Als je 1x belt heb je 0,1 kans om doorverbonden te worden
Bij 2x bellen is de kans 0,9*0,1 (want eerst bel je voor niets (90% kans), dan word je doorverbonden (10% kans))
Bij 3x bellen is de kans 0,9^2*0,1 om doorverbonden te worden

Hieruit ontstaat het volgende:
Aantal keer bellen kans op succes bij dat aantal keer bellen
1 0,1
2 0,09
3 0,081
4 0,0729
5 0,06561
6 0,059049
7 0,0531441
8 0,04782969
9 0,043046721
10 0,038742049
11 0,034867844
12 0,03138106
13 0,028242954
14 0,025418658
15 0,022876792
Hierdoor lijkt het dat de meeste mensen maar één keer hoeven te bellen, maar dit is natuurlijk niet het geval.

Ook het optellen van de kansen lijkt niet uit te werken. Bij bijvoorbeeld 3x bellen, heb je dan 0,1+0,09+0,081. Je krijgt dan onderstaande tabel:
1 0,1
2 0,19
3 0,271
4 0,3439
5 0,40951
6 0,468559
7 0,5217031
8 0,56953279
9 0,612579511
10 0,65132156
11 0,686189404
12 0,717570464
13 0,745813417
14 0,771232075
De kans wordt dan steeds groter naarmate je vaker belt. Echter bel je natuurlijk niet opnieuw als je al een keer doorverbonden bent. De kans dat je pas na 100 keer voor het eerst doorverbonden wordt, kan volgens mij niet groter zijn dan na bijvoorbeeld 10 keer bellen, maar dit kun je uit bovenstaande tabel niet afleiden.

Gevoelsmatig ligt het antwoord ergens rond de 5, maar ik weet niet hoe ik dit kan berekenen. Kan iemand me hier bij helpen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiskundige vraag belspelletje

Bericht door arie » 02 apr 2020, 20:01

Eenvoudige redenatie:
Als 10 mensen bellen, zal er 1 worden doorverbonden.
Als die 10 mensen allemaal 100 keer bellen, zal iedereen gemiddeld 10 keer doorverbonden worden.
Gemiddeld 10 doorverbindingen bij 100 keer bellen betekent dat je gemiddeld 100/10 = 10 keer moet bellen voordat je wordt doorverbonden


Ingewikkelder redenatie:
Stel je moet gemiddeld N keer bellen om doorverbonden te worden.
Als je 1 keer belt is de kans:
- 1/10 dat je wordt doorverbonden, je hoeft dan dus maar 1 keer te bellen
- 9/10 dat je NIET wordt doorverbonden, je moet dan opnieuw gemiddeld N keer bellen om doorverbonden te worden, in dit geval moet je in totaal dus gemiddeld 1 + N keer bellen.
Dus
Het gemiddelde aantal keren N dat je moet bellen = (1/10) * 1 keer + (9/10) * (N+1) keer:

\(N = \frac{1}{10} + \frac{9}{10}\cdot (N+1)\)

\(N = \frac{1}{10} + \frac{9}{10}N + \frac{9}{10}\)

\(\frac{1}{10} N = 1\)

\(N = 10\)

Zoals we al eerder gezien hebben.


Nog ingewikkelder:
De kans dat je precies n keer moet bellen had je al correct uitgerekend:

\(P(\text{n keer bellen}) = 0.9^{n-1}\cdot 0.1\)

Het verwachte aantal keren dat je moet bellen = N =

\(\text{N} = \text{(1 keer)}\times P(\text{1 keer}) + \text{(2 keer)}\times P(\text{2 keer}) + \text{(3 keer)} \times P(\text{3 keer}) + ....\)

en die sommatie door tot in het oneindige.

Dit kunnen we schrijven als (gebruik ook bovenstaande formule voor de kans op i keer bellen):

\(N=\displaystyle \sum_{i=1}^\infty i \cdot 0.9^{i-1} \cdot 0.1\)

\(=\displaystyle \sum_{j=0}^\infty (j+1) \cdot 0.9^j \cdot 0.1\)

\(=0.1 \cdot \left( \displaystyle \sum_{j=0}^\infty j\cdot 0.9^j +\sum_{j=0}^\infty 0.9^j \right) \)

(gebruik hiervoor de standaardformules zoals op deze wiki pagina:
https://en.wikipedia.org/wiki/Summation ... _exponents
met a=0.9 en n naar oneindig):

\(=0.1 \cdot \left( \frac{0.9}{(1-0.9)^2} +\frac{1}{1-0.9} \right)\)

\(= 0.1 \cdot (90 + 10) = 10\)

net zoals we hierboven al gevonden hadden.


PS:
Dit geldt in het algemeen: als een kans op een gebeurtenis 1/n is, dan moet je je experiment (=bezigheid) gemiddeld n keer herhalen om die gebeurtenis te zien.

Bijvoorbeeld:
Als je een dobbelsteen gooit, dan is de kans op gebeurtenis 5 ogen gelijk aan 1/6.
Je moet je dobbelsteen dus gemiddeld 6 keer gooien om 5 ogen te krijgen

Als je met een muntstuk kop of munt gooit, is de kans op gebeurtenis kop = 1/2
Je moet de munt dus gemiddeld 2 keer gooien om kop te krijgen

Plaats reactie