Wiskunde Olympiade

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Wiskunde Olympiade

Bericht door Henry123 » 04 feb 2021, 23:53

De volgende opgave kwam vandaag voorbij in de Wiskunde Olympiade. Ik ben normaal best goed in het rekenen met graden in driehoeken, maar hier kwam ik niet verder mee.

Plaatje invoegen lukt me niet, dus ik zal het zo duidelijk mogelijk proberen te beschrijven.

In driehoek ABC (hoek A linksonder, hoek B rechtsonder, hoek C bovenaan) is hoek C 68 graden. Op BC ligt het punt E en op AC ligt het punt F zo dat BE = EF = AF. Verder snijden de lijnen AE en BF elkaar in het punt S. Bereken hoek ASB.

Ik hoop dat ik het zo duidelijk heb uitgelegd. Veel succes!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door arie » 05 feb 2021, 10:16

Afbeelding

Teken 3 loodlijnen (rood) op EF, waarvan de middelste hoek ECF opdeelt in een hoek \(\gamma_1\) en een hoek \(\gamma_2\).
Kom je dan verder?


PS: je kan hier alleen een plaatje laten zien via een link naar dat plaatje.
Het plaatje zelf moet je elders plaatsen, bv. op https://imgbb.com/
(voor meer info zie viewtopic.php?f=15&t=5039).

Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door Henry123 » 05 feb 2021, 11:24

Ik kom nog niet veel verder. Ik ben aan de slag gegaan met Z-hoeken. Kan ik dan gewoon bepaalde hoeken x graden maken en andere y graden en daarmee doorrekenen? Dus gewoon veel werken met hoekensom driehoek. Uiteindelijk moet ik vast ook iets doen met de gelijkbenige driehoeken, omdat die gelijke hoeken hebben. Mag ik nog een tip? 😁

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door arie » 05 feb 2021, 13:38

Afbeelding

We hebben de drie rode lijnen l, m en n, alle drie loodrecht op FE, resp. door F, C en E.

Als \(\angle FCm = \gamma_1 \), kan je \(\angle AFE\) dan ook uitdrukken in \(\gamma_1\) ?
En vervolgens ook \(\angle FEA\) van gelijkbenige driehoek AFE ?

Lukt zoiets ook voor \(\angle BFE\) en \(\gamma_2\) ?

En hoe groot is dan \(\angle FSE\) ?

Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door Henry123 » 05 feb 2021, 23:30

Wow, super zeg. Geen idee hoe ik hier ooit op zou kunnen komen in een toets, maar het is fantastisch! Ik heb wat gedaan met Z-hoeken, gelijkbenige driehoeken enz. en kwam uiteindelijk op 124 graden. Ik neem aan dat dit het goede antwoord is, omdat het ook tussen de antwoordmogelijkheden stond. Helaas verkeerd gegokt :(

Super bedankt weer!

PS: Mijn wiskundeleraar heet ook Arie en ik ken nog een andere wiskundeleraar die ook Arie heet. Is het verplicht om Arie te heten om goed in wiskunde te zijn? ;)
Ik heet zelf trouwens niet echt Henry haha.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door arie » 12 feb 2021, 21:42

Henry123 schreef: Geen idee hoe ik hier ooit op zou kunnen komen in een toets
Algemene tip: als je iets niet ziet, maak het jezelf dan zo gemakkelijk mogelijk.
Werk bijvoorbeeld toe naar de meest symmetrische (= meest eenvoudige) voorstelling van het probleem.

In dit geval is van driehoek ABC alleen tophoek C = 68 graden gegeven.
Als dat de enige voorwaarde is, mag driehoek ABC dus ook gelijkbenig zijn: kies AC = BC.
Dan is \(\angle ABC = \angle BAC = (180^\circ - 68^\circ)/2 = 56^\circ \) en vormen
AF = EF = BE = \(a\) (rood) samen met basis AB een gelijkbenig trapezium.

Afbeelding

We kunnen nu een groot aantal gelijkvormige driehoeken construeren waarin we naar goniometrische gelijkheden kunnen gaan zoeken.

Maar omdat het een meerkeuzevraag is, kunnen we ook kijken naar een benadering:
Stel \(\angle ACB\) zou niet \(68^\circ\) maar \(60^\circ\) zijn, dan zou driehoek ABC gelijkzijdig zijn, en krijgen we dit plaatje:

Afbeelding

Merk op: gelijkzijdige driehoeken AMF, MBE, EFM en EFC delen driehoek ABC nu in precies 4 gelijke delen, waarbij
a = AM = MF = AF = MB = BE = ME = EF = EC = FC
Nu is \(\angle FSE=120^\circ\) (niet ingewikkeld om te bepalen).

Dus als er één meerkeuzeantwoord dicht in de buurt van \(120^\circ\) ligt, dan moet dat het juiste antwoord zijn.

Liggen er meer antwoorden in de buurt van \(120^\circ\), kijk dan wat er gebeurt als we hoek ACB (overdreven veel) vergroten:

Afbeelding

Als we hoek ACB steeds groter maken (richting \(180^\circ\)), dan zal ook hoek FSE steeds groter worden en naar \(180^\circ\) gaan.
Dus als we hoek ACB slechts heel beperkt groter maken, van \(60^\circ\) naar \(68^\circ\),
dan zal ook hoek FSE heel beperkt groter dan \(120^\circ\) worden.
We kiezen dan het antwoord dat iets groter dan \(120^\circ\) is (en hopelijk is \(124^\circ\) dan het enige antwoord dat hieraan voldoet).


Henry123 schreef: PS: Mijn wiskundeleraar heet ook Arie en ik ken nog een andere wiskundeleraar die ook Arie heet. Is het verplicht om Arie te heten om goed in wiskunde te zijn?
Niet verplicht, maar het helpt wel.
Volgens geruchten worden babies die direct na hun geboorte zelf natellen of ze 10 vingers en 10 tenen hebben vaak vernoemd naar Arithmos, de griekse god van rekenen en getaltheorie,
zie bv. https://en.wiktionary.org/wiki/%E1%BC%8 ... CF%82#Noun
Maar ik weet niet of dit helemaal klopt.

Erik
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 10 apr 2021, 16:35

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door Erik » 10 apr 2021, 18:50

Hallo,

Leuk probleem!

Mijn zoon kwam met onderstaande oplossing:

Teken het figuur zo dat F precies op C valt.
Dat betekent dan ook dat hoek S in hoek E valt.
Dat vereenvoudigt het probleem enorm en lijdt snel naar een snelle oplossing.
Zie onderstaand plaatje.

Afbeelding

Ik vond deze oplossing zeer charmant en vind het ook leuk genoeg om dit hier even te laten zien.

Vr.Gr.erIk

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiskunde Olympiade

Bericht door arie » 11 apr 2021, 06:32

Erg mooie oplossing!
Bedankt voor het plaatsen.

Plaats reactie