Het Geogram

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
hjeleas
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 03 sep 2020, 12:00

Het Geogram

Bericht door hjeleas » 14 jun 2021, 11:16

Een Geogram is een "gelocaliseerd" bericht - je kan zo'n berichtje, tijdstip uitgestuurd door
zendtorens, enkel op één plaats correct ontvangen.

Zoek de juiste plaats van zender en ontvanger door de rode icoontjes te verschuiven;
Op de juiste afstanden tussen zenders en ontvanger zal het 'symbool' op de canvas verschijnen.
Afbeelding
Hier onder vind je de wiskunde hoe het geogram is gemaakt.

Voor een interactive canvas om te proberen en de pixel codes, zie http://qsl.net/on4cko/geogram.html


Gegeven:

Het symbool is gemaakt met 320 pixels, die gesegmenteerd wordt verzonden door drie zendtorens:
  • De eerste honderd pixels worden verzonden door toren 1; De eerste toren zendt de afstanden van elke pixel (x1:100,y1:100) tot de punten P en Q1 op coordinaten p(0,0) and q(d1,0).
  • De tweede honderd pixels worden verzonden door toren 2; De tweede toren zendt de afstanden van elke pixel (x100:199,y100:199) tot de punten P en Q2 op coordinaten p(0,0) and q(d2,0).
  • De laatste pixels worden verzonden door toren 3; De derde toren zendt de afstanden van elke pixel (x200:320,y200:320) tot de punten P en Q3 op coordinaten p(0,0) and q(d3,0).


Tip: Het symbool heeft het punt met coordinaten als centrum (35.5, 30.6) (dit is gemiddelde X en gemiddelde Y waarde van de figuur);
De pixels worden niet in volgorde verzonden, dus dit centrum is dezelfde voor alle zenders.

Je moet afstanden d1, d2 en d3 vinden, maar, als bijkomende moeilijkheid wordt
de afstand verzonden modulo 16 en modulo 17 - de vier waardes per pixel zijn fases van lambda1(golflengte 16) en lamdba2 (golflengte 17)

Iedere pixels heeft dus vier fases die de afstanden tot twee punten P en Q voorstellen, en, bepaald wordt door een cirkel-cirkel snijpunt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Het Geogram

Bericht door arie » 16 jun 2021, 09:55

Stap 1: snelle grove oplossing:
- Zet eerst toren 3 in de hoek links onder waardoor d3 heel groot wordt.
De pixelafstanden tot Q3 blijven hetzelfde, en als d3 heel groot is dan zullen de cirkels met middelpunt P en Q3 elkaar niet snijden. Hierdoor zijn we de punten 201 t/m 320 nu kwijt.
- Beweeg dan de ontvanger tussen/rond zender 1 en 2, en zet deze op de positie waarbij er maximaal veel pixels in het rechter canvas verschijnen. Deze pixels zullen al iets van het symbool laten zien.
- Schuif tenslotte ook toren 3 richting de ontvanger, zodanig dat pixel 201 t/m 320 het bovenstaand resultaat overlappen.

NOOT:: als ik toren 3 verplaats, veranderen ook de pixels 1 t/m 200. Dit zou volgens de definitie niet moeten kunnen. Of veranderen wellicht de assen van het rechter canvas afhankelijk van de pixelposities??

Stap 2: verfijning:
Beschouw de nu ontstane figuur als een volledige graaf, met gewicht van de randen (edges) bv. het kwadraat van de Euclidische afstand van elk tweetal punten.
Maak dan een minimaal opspannende boom in deze graaf.
Zoek tenslotte de waarden van d1, d2 en d3 waarbij het totaalgewicht van de minimaal opspannende boom minimaal is.
Omdat deze waarden dicht bij die van het resultaat van stap 1 zullen liggen, kan dit zoeken heel snel gaan.
Ik kom uit op
d1 = 49.4186
d2 = 122.8196
d3 = 98.0366
en dat geeft dit resultaat:

Afbeelding

NOOT: De 4 punten met ID 88, 240, 281 en 308 lijken outliers (zend- of meetfout of iets dergelijks?), die heb ik niet meegenomen in de berekening.

Het lijkt te gaan om een afbeelding van een muis;
Hier het zelfde plaatje op het interactieve canvas:

Afbeelding

hjeleas
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 03 sep 2020, 12:00

Re: Het Geogram

Bericht door hjeleas » 17 jun 2021, 20:07

Proficiat, het gezochte symbool is, inderdaad, een muis!
Het was een plezier de puzzel te maken- ook fijn dat ik nog van je antwoord bijleer :D

Over je vraag: >... veranderen wellicht de assen van het rechter canvas afhankelijk van de pixelposities??
Inderdaad.het is een gesegmenteerd code, maar, de schaal past zich automatisch aan voor de hele figuur op de. interactieve canvas. Het verplaatsen van toren 3 verandert maar een deel van de code (van pixel 200 tot 320) maar, omdat de schaal zich aanpast lijkt het alsof alle pixels van plaats kunnen veranderen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3609
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Het Geogram

Bericht door arie » 17 jun 2021, 22:35

hjeleas schreef:
17 jun 2021, 20:07
Het was een plezier de puzzel te maken
Mooie, originele puzzel heb je gemaakt!
Leuk dat je hem hier geplaatst hebt.

Plaats reactie