Beste
Ik heb moeite met onderstaande vraagstukken :
1) Wat is het laatste cijfer van de volgende som?
S = 1! + 2! + 3! + ... + 1995! + 1996!
ik post er zo meteen nog een
Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
Deze sommatie eindigt dus op een 3.
5! = 1*2*3*4*5
Hier zit het product van 2 en 5 in, en 2 * 5 = 10, dus 5! eindigt op nul
(je hoeft dus niet uit te rekenen dat 5! = 1*2*3*4*5 = 120 is: het product van 2*5=10 en een aantal andere getallen eindigt altijd op een nul).
Hoe zit dat voor 6!, 7!, 8!, ...., 1996!
Wat is dus het antwoord op de vraag?
Deze sommatie eindigt dus op een 3.
5! = 1*2*3*4*5
Hier zit het product van 2 en 5 in, en 2 * 5 = 10, dus 5! eindigt op nul
(je hoeft dus niet uit te rekenen dat 5! = 1*2*3*4*5 = 120 is: het product van 2*5=10 en een aantal andere getallen eindigt altijd op een nul).
Hoe zit dat voor 6!, 7!, 8!, ...., 1996!
Wat is dus het antwoord op de vraag?
Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
In de rest van de bewerking zit telkens het product 2*5, dus dat zal altijd eindigen op 0
De som zal dus eindigen op een 3
Heel erg bedankt!
Volgende oefening snap ik niet:
f(x) = x/1-x en x1 = 1/a, x2 = f(x1), x3= f(x2), ..., x23= f(x22), x24= f(23) = 1
Dan is a gelijk aan?
De som zal dus eindigen op een 3
Heel erg bedankt!
Volgende oefening snap ik niet:
f(x) = x/1-x en x1 = 1/a, x2 = f(x1), x3= f(x2), ..., x23= f(x22), x24= f(23) = 1
Dan is a gelijk aan?
Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
Gegeven:
\(f(x)=\frac{x}{1-x}\)
en de rij \(x_1, x_2, x_3, ..., x_{24}\),
zodanig dat
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
en voor i = 2 t/m 24:
\(x_i = f(x_{i-1})\)
waarbij
\(x_{24} = 1\)
Met dit functievoorschrift kunnen we dus voor elke bekende \(x_{i-1}\) steeds de volgende waarde \(x_i\) bepalen:
\(x_1 = \frac{1}{a}\) (gegeven)
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met a:
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)} = \frac{1}{a-1}\)
Hiermee bepalen we \(x_3\):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-1):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))} = \frac{1}{(a-1)-1} = \frac{1}{a-2}\)
Hiermee bepalen we \(x_4\):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-2):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))} = \frac{1}{(a-2)-1} = \frac{1}{a-3}\)
We hebben nu dus:
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
\(x_2 = \frac{1}{a-1}\)
\(x_3 = \frac{1}{a-2}\)
\(x_4 = \frac{1}{a-3}\)
Waarschijnlijk heb je het patroon van deze rij zelf al gezien:
in de noemer wordt er steeds 1 meer van a afgetrokken.
Dit kunnen we ook bewijzen:
Stel \(x = \frac{1}{a-c}\), dan is
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}\)
vermenigvuldig teller en noemer met (a-c):
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}=\frac{1}{(a-c)-1} = \frac{1}{a-(c+1)}\)
Nu kunnen we zonder alle tussenliggende waarden te berekenen direct zeggen:
\(x_{24} = \frac{1}{a-23}\)
Er is gegeven dat dit laatste gelijk is aan 1, dus kunnen we a bepalen.
\(f(x)=\frac{x}{1-x}\)
en de rij \(x_1, x_2, x_3, ..., x_{24}\),
zodanig dat
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
en voor i = 2 t/m 24:
\(x_i = f(x_{i-1})\)
waarbij
\(x_{24} = 1\)
Met dit functievoorschrift kunnen we dus voor elke bekende \(x_{i-1}\) steeds de volgende waarde \(x_i\) bepalen:
\(x_1 = \frac{1}{a}\) (gegeven)
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met a:
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)} = \frac{1}{a-1}\)
Hiermee bepalen we \(x_3\):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-1):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))} = \frac{1}{(a-1)-1} = \frac{1}{a-2}\)
Hiermee bepalen we \(x_4\):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-2):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))} = \frac{1}{(a-2)-1} = \frac{1}{a-3}\)
We hebben nu dus:
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
\(x_2 = \frac{1}{a-1}\)
\(x_3 = \frac{1}{a-2}\)
\(x_4 = \frac{1}{a-3}\)
Waarschijnlijk heb je het patroon van deze rij zelf al gezien:
in de noemer wordt er steeds 1 meer van a afgetrokken.
Dit kunnen we ook bewijzen:
Stel \(x = \frac{1}{a-c}\), dan is
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}\)
vermenigvuldig teller en noemer met (a-c):
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}=\frac{1}{(a-c)-1} = \frac{1}{a-(c+1)}\)
Nu kunnen we zonder alle tussenliggende waarden te berekenen direct zeggen:
\(x_{24} = \frac{1}{a-23}\)
Er is gegeven dat dit laatste gelijk is aan 1, dus kunnen we a bepalen.
Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
Heel erg bedankt! a is dus gelijk aan 24
Voor een tweedegraadsfunctie p geldt voor elke x die element is van R dat x^2 + 2x + 1 < of gelijk aan p(x) < of gelijk aan 2x^2 + 4x + 2. Als p(3) = 20, dan is p(5) gelijk aan?
Voor een tweedegraadsfunctie p geldt voor elke x die element is van R dat x^2 + 2x + 1 < of gelijk aan p(x) < of gelijk aan 2x^2 + 4x + 2. Als p(3) = 20, dan is p(5) gelijk aan?
Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)
Het is vaak handig om eerst een plaatje te maken.
Hierboven de grafiek van
\(y = x^2+2x+1 = (x+1)^2\) (groen)
en de grafiek van
\(y = 2x^2+4x+2 = 2\cdot (x^2+2x+1) = 2\cdot (x+1)^2\) (zwart).
De grafiek van p(x) moet hier dus tussen liggen, want:
\(x^2+2x+1 \le p(x) \le 2x^2+4x+2 \)
ofwel
\((x+1)^2 \le p(x) \le 2\cdot (x+1)^2\)
Dan moet p de vorm hebben
\(p(x) = a\cdot (x+1)^2\)
waarbij \(1 \le a \le 2\)
Als gegeven is dat p(3) = 20, kan je dan de waarde van a bepalen?
En vervolgens de waarde van p(5) ?