Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
juvdw
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 09 okt 2021, 13:10

Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door juvdw » 10 okt 2021, 16:58

Beste
Ik heb moeite met onderstaande vraagstukken :

1) Wat is het laatste cijfer van de volgende som?
S = 1! + 2! + 3! + ... + 1995! + 1996!

ik post er zo meteen nog een

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3645
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door arie » 10 okt 2021, 22:52

1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
Deze sommatie eindigt dus op een 3.
5! = 1*2*3*4*5
Hier zit het product van 2 en 5 in, en 2 * 5 = 10, dus 5! eindigt op nul
(je hoeft dus niet uit te rekenen dat 5! = 1*2*3*4*5 = 120 is: het product van 2*5=10 en een aantal andere getallen eindigt altijd op een nul).
Hoe zit dat voor 6!, 7!, 8!, ...., 1996!
Wat is dus het antwoord op de vraag?

juvdw
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 09 okt 2021, 13:10

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door juvdw » 11 okt 2021, 18:12

In de rest van de bewerking zit telkens het product 2*5, dus dat zal altijd eindigen op 0
De som zal dus eindigen op een 3
Heel erg bedankt!
Volgende oefening snap ik niet:
f(x) = x/1-x en x1 = 1/a, x2 = f(x1), x3= f(x2), ..., x23= f(x22), x24= f(23) = 1
Dan is a gelijk aan?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3645
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door arie » 11 okt 2021, 22:27

Gegeven:

\(f(x)=\frac{x}{1-x}\)

en de rij \(x_1, x_2, x_3, ..., x_{24}\),
zodanig dat
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
en voor i = 2 t/m 24:
\(x_i = f(x_{i-1})\)
waarbij
\(x_{24} = 1\)

Met dit functievoorschrift kunnen we dus voor elke bekende \(x_{i-1}\) steeds de volgende waarde \(x_i\) bepalen:
\(x_1 = \frac{1}{a}\) (gegeven)

\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met a:
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)} = \frac{1}{a-1}\)

Hiermee bepalen we \(x_3\):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-1):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))} = \frac{1}{(a-1)-1} = \frac{1}{a-2}\)

Hiermee bepalen we \(x_4\):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-2):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))} = \frac{1}{(a-2)-1} = \frac{1}{a-3}\)

We hebben nu dus:
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
\(x_2 = \frac{1}{a-1}\)
\(x_3 = \frac{1}{a-2}\)
\(x_4 = \frac{1}{a-3}\)

Waarschijnlijk heb je het patroon van deze rij zelf al gezien:
in de noemer wordt er steeds 1 meer van a afgetrokken.
Dit kunnen we ook bewijzen:
Stel \(x = \frac{1}{a-c}\), dan is
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}\)
vermenigvuldig teller en noemer met (a-c):
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}=\frac{1}{(a-c)-1} = \frac{1}{a-(c+1)}\)

Nu kunnen we zonder alle tussenliggende waarden te berekenen direct zeggen:
\(x_{24} = \frac{1}{a-23}\)
Er is gegeven dat dit laatste gelijk is aan 1, dus kunnen we a bepalen.

juvdw
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 09 okt 2021, 13:10

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door juvdw » 12 okt 2021, 16:46

Heel erg bedankt! a is dus gelijk aan 24
Voor een tweedegraadsfunctie p geldt voor elke x die element is van R dat x^2 + 2x + 1 < of gelijk aan p(x) < of gelijk aan 2x^2 + 4x + 2. Als p(3) = 20, dan is p(5) gelijk aan?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3645
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Bericht door arie » 12 okt 2021, 18:20

Afbeelding

Het is vaak handig om eerst een plaatje te maken.
Hierboven de grafiek van
\(y = x^2+2x+1 = (x+1)^2\) (groen)
en de grafiek van
\(y = 2x^2+4x+2 = 2\cdot (x^2+2x+1) = 2\cdot (x+1)^2\) (zwart).
De grafiek van p(x) moet hier dus tussen liggen, want:

\(x^2+2x+1 \le p(x) \le 2x^2+4x+2 \)
ofwel
\((x+1)^2 \le p(x) \le 2\cdot (x+1)^2\)

Dan moet p de vorm hebben
\(p(x) = a\cdot (x+1)^2\)
waarbij \(1 \le a \le 2\)

Als gegeven is dat p(3) = 20, kan je dan de waarde van a bepalen?
En vervolgens de waarde van p(5) ?

Plaats reactie