Berekening hoogste tot laagste punt #hoeken #lengtes #driehoeken

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Snouzuless
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 25 mei 2022, 08:10

Berekening hoogste tot laagste punt #hoeken #lengtes #driehoeken

Bericht door Snouzuless » 25 mei 2022, 08:28

Hallo,

Ik ben bezig met een vertaling CAD naar Excel, zodat wat ik teken makkelijker te doen is door mensen zonder een CAD programma. Zo loop ik nu tegen iets aan waarmee ik toch merk dat mijn ervaring met hoeken berekenen, zeg maar verjaard is :D.

Zie bijlage: Afbeelding

Ik weet 4 lengtes, geen hoeken, 50.6 en 966 staan loodrecht op elkaar, 50.6 en 850 zijn evenwijdig.
Daarnaast weet ik dat de 2 lange schuine lengtes gelijk zijn, beiden 1550.
Verder is de te berekenen maat (hoogste punt naar horizontale onderlijn) 1439.3 (deze weet ik dus niet!)

Hoop via hier iets sneller wat tips te hebben om hem te berekenen, zo niet dan ga ik gewoon zelf verder pielen!
Want het tekenprogramma kan het blijkbaar wel uitzetten, dus moet het te doen zijn..

Bvd Thomas

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3721
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekening hoogste tot laagste punt #hoeken #lengtes #driehoeken

Bericht door arie » 25 mei 2022, 17:34

Afbeelding

Gegeven je lengtes:
r=1550
s=1550 (ik denk dat s gelijk is aan DF = r, maar r en s mogen ook verschillende waardes hebben)
t=850
v=966
w=50.6
en onbekende lengtes p en q (je wilt q weten):

Dan geldt in de gele rechthoekige driehoek volgens de stelling van Pythagoras:
\((p+w+t)^2 + q^2 = s^2\)
en in de blauwe rechthoekige driehoek:
\(p^2 + (q+v)^2 = r^2\)

ofwel:
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 = s^2\)
en
\(p^2 + q^2+2vq+v^2 = r^2\)

Trek de 2e vergelijkingen van de eerste af (dan raken we de termen met \(p^2\) en \(q^2\) handig kwijt):
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 - (p^2 + q^2+2vq+v^2)= s^2- r^2\)
ofwel:
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 - p^2 - q^2- 2vq - v^2= s^2- r^2\)
ofwel:
\(2(w+t)p + (w+t)^2 - 2vq - v^2= s^2- r^2\)
ofwel:
ofwel:
\(2(w+t)p = 2vq + s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2\)
ofwel
\(p = \frac{v}{w+t}q + \frac{s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2}{2(w+t)}\)

We hebben nu p uitgedrukt in een constante M keer q plus een tweede constante N:
\(p = Mq+N\)
met
\(M = \frac{v}{w+t}\)
en
\(N = \frac{s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2}{2(w+t)}\)

Als we dit resultaat invullen in onze formule voor de blauwe driehoek (stelling van Pythagoras, hierboven) krijgen we:
\((Mq+N)^2+ (q+v)^2 = r^2\)
ofwel
\(M^2q^2+2Mq+N^2+ q^2+2vq+v^2 = r^2\)
ofwel
\(Aq^2 + Bq + C = 0\)
met
\(A=M^2+1\)
\(B=2(M\cdot N+v)\)
\(C=N^2+v^2-r^2\)
en dit is een tweedegraadsvergelijking in q die we kunnen oplossen met de abc-formule:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule
Er zal doorgaans slechts 1 van de twee mogelijke oplossingen zinvol zijn.

In jouw voorbeeld kom ik uit op:
q1 = -1439.246206447036550
q2 = 473.2462064470365500
in ons geval is dit dus q2 met de positieve lengte

De gevraagde totale hoogte wordt dan DC + q2 = 966 + 473.2462064470365500 = 1439.24620644703655...

Plaats reactie