Gegeven je lengtes:
r=1550
s=1550 (ik denk dat s gelijk is aan DF = r, maar r en s mogen ook verschillende waardes hebben)
t=850
v=966
w=50.6
en onbekende lengtes p en q (je wilt q weten):
Dan geldt in de gele rechthoekige driehoek volgens de stelling van Pythagoras:
\((p+w+t)^2 + q^2 = s^2\)
en in de blauwe rechthoekige driehoek:
\(p^2 + (q+v)^2 = r^2\)
ofwel:
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 = s^2\)
en
\(p^2 + q^2+2vq+v^2 = r^2\)
Trek de 2e vergelijkingen van de eerste af (dan raken we de termen met
\(p^2\) en
\(q^2\) handig kwijt):
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 - (p^2 + q^2+2vq+v^2)= s^2- r^2\)
ofwel:
\(p^2+2(w+t)p + (w+t)^2 + q^2 - p^2 - q^2- 2vq - v^2= s^2- r^2\)
ofwel:
\(2(w+t)p + (w+t)^2 - 2vq - v^2= s^2- r^2\)
ofwel:
ofwel:
\(2(w+t)p = 2vq + s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2\)
ofwel
\(p = \frac{v}{w+t}q + \frac{s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2}{2(w+t)}\)
We hebben nu p uitgedrukt in een constante M keer q plus een tweede constante N:
\(p = Mq+N\)
met
\(M = \frac{v}{w+t}\)
en
\(N = \frac{s^2- r^2 - (w+t)^2 + v^2}{2(w+t)}\)
Als we dit resultaat invullen in onze formule voor de blauwe driehoek (stelling van Pythagoras, hierboven) krijgen we:
\((Mq+N)^2+ (q+v)^2 = r^2\)
ofwel
\(M^2q^2+2Mq+N^2+ q^2+2vq+v^2 = r^2\)
ofwel
\(Aq^2 + Bq + C = 0\)
met
\(A=M^2+1\)
\(B=2(M\cdot N+v)\)
\(C=N^2+v^2-r^2\)
en dit is een tweedegraadsvergelijking in q die we kunnen oplossen met de abc-formule:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule
Er zal doorgaans slechts 1 van de twee mogelijke oplossingen zinvol zijn.
In jouw voorbeeld kom ik uit op:
q1 = -1439.246206447036550
q2 = 473.2462064470365500
in ons geval is dit dus q2 met de positieve lengte
De gevraagde totale hoogte wordt dan DC + q2 = 966 + 473.2462064470365500 = 1439.24620644703655...
.
