Formule vereenvoudigen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Patrick1960
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Formule vereenvoudigen

Bericht door Patrick1960 » 13 apr 2023, 12:42

Hallo,

Is het mogelijk om deze formule te vereenvoudigen?

integrate d from 0 to 2 x. sqrt x^ ln x . sqrt[3] x^ ln^ 2 x. sqrt[4] x^ ln^ 3 x sqrt[5] ... dx

Alvast bedankt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Formule vereenvoudigen

Bericht door arie » 13 apr 2023, 17:09

\(x \cdot \sqrt{ x^{ \ln x}} \cdot \sqrt[3]{ x^ {\ln^2 x}} \cdot \sqrt[4]{ x^{ \ln^ 3 x}} ... \)
\(= x \cdot x^{\frac{1}{2}\ln x} \cdot x^{\frac{1}{3}\ln^2 x}\cdot x^{\frac{1}{4}\ln^3 x} ... \)
\(= x^{(1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\ln x \cdot (1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\frac{1}{1}\ln x + \frac{1}{2}\ln^2 x+\frac{1}{3}\ln^3 x+\frac{1}{4}\ln^4 x ...} \)
\(= e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } \)

Kom je hiermee verder?

Patrick1960
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Formule vereenvoudigen

Bericht door Patrick1960 » 13 apr 2023, 17:54

Dankjewel
Ik bekijk het morgen.

Patrick1960
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Formule vereenvoudigen

Bericht door Patrick1960 » 12 mei 2023, 07:19

Ik probeer dit om te zetten naar een getal maar met de calculaters die ik vind kom ik er niet.
Hebben jullie soms een link?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Formule vereenvoudigen

Bericht door arie » 12 mei 2023, 19:50

Gebruik dat voor \(\small -1 \le x < 1\) geldt:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)

en evenzo voor \(\small -1 \le \ln(x) < 1\):

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln x)^n}{n} = -\ln(1-\ln x)\)

Dat geeft:

\( e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } = e^{-\ln(1-\ln x)} =\; \frac{1}{e^{\ln(1-\ln x)}}= \frac{1}{1-\ln x}\)


Voorbeeld:

Kies x=2 (\(\small -1 \le \ln(2) = 0.693147... < 1\) ):
\(\frac{1}{1-\ln x}=\frac{1}{1-\ln 2}=3.25889135327...\)

En hier de benaderingen met de eerste 5, 10, 20, 50 en 100 termen van de sommatie:
\( e^{\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.\;10834745199\)
\( e^{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.2\;4424260692\)
\( e^{\sum_{i=1}^{20} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.258\;68154068\)
\( e^{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135\;175\)
\( e^{\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135327\)

De sommaties kan je bijvoorbeeld uitrekenen via WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=e% ... %2Fi%29%29

Plaats reactie