Pagina 1 van 1
Formule vereenvoudigen
Geplaatst: 13 apr 2023, 12:42
door Patrick1960
Hallo,
Is het mogelijk om deze formule te vereenvoudigen?
integrate d from 0 to 2 x. sqrt x^ ln x . sqrt[3] x^ ln^ 2 x. sqrt[4] x^ ln^ 3 x sqrt[5] ... dx
Alvast bedankt.
Re: Formule vereenvoudigen
Geplaatst: 13 apr 2023, 17:09
door arie
\(x \cdot \sqrt{ x^{ \ln x}} \cdot \sqrt[3]{ x^ {\ln^2 x}} \cdot \sqrt[4]{ x^{ \ln^ 3 x}} ... \)
\(= x \cdot x^{\frac{1}{2}\ln x} \cdot x^{\frac{1}{3}\ln^2 x}\cdot x^{\frac{1}{4}\ln^3 x} ... \)
\(= x^{(1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\ln x \cdot (1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\frac{1}{1}\ln x + \frac{1}{2}\ln^2 x+\frac{1}{3}\ln^3 x+\frac{1}{4}\ln^4 x ...} \)
\(= e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } \)
Kom je hiermee verder?
Re: Formule vereenvoudigen
Geplaatst: 13 apr 2023, 17:54
door Patrick1960
Dankjewel
Ik bekijk het morgen.
Re: Formule vereenvoudigen
Geplaatst: 12 mei 2023, 07:19
door Patrick1960
Ik probeer dit om te zetten naar een getal maar met de calculaters die ik vind kom ik er niet.
Hebben jullie soms een link?
Re: Formule vereenvoudigen
Geplaatst: 12 mei 2023, 19:50
door arie
Gebruik dat voor
\(\small -1 \le x < 1\) geldt:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)
en evenzo voor
\(\small -1 \le \ln(x) < 1\):
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln x)^n}{n} = -\ln(1-\ln x)\)
Dat geeft:
\( e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } = e^{-\ln(1-\ln x)} =\; \frac{1}{e^{\ln(1-\ln x)}}= \frac{1}{1-\ln x}\)
Voorbeeld:
Kies x=2 (
\(\small -1 \le \ln(2) = 0.693147... < 1\) ):
\(\frac{1}{1-\ln x}=\frac{1}{1-\ln 2}=3.25889135327...\)
En hier de benaderingen met de eerste 5, 10, 20, 50 en 100 termen van de sommatie:
\( e^{\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.\;10834745199\)
\( e^{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.2\;4424260692\)
\( e^{\sum_{i=1}^{20} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.258\;68154068\)
\( e^{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135\;175\)
\( e^{\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135327\)
De sommaties kan je bijvoorbeeld uitrekenen via WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=e% ... %2Fi%29%29