Stap 1: Schuif alles 1 eenheid naar links, zodat de omwentelings-as samenvalt met de y-as (= de lijn x=0):
De grafiek van f (blauw in bovenstaand plaatje) gaat dan over in de grafiek van g (groen), waarvoor geldt:
\(g(x) = f(x+1) = (x+1)^3\)
ofwel
\(g: \;\; y = (x+1)^3\)
Hierbij loopt x nu van -1 t/m 0.
Stap 2: herschrijf g als functie van y:
\(g: \;\; x =\; ...\)
ofwel
\(g(y) = \; ...\)
Voor elke gegeven hoogte y kunnen we hiermee de bijbehorende waarde van x bepalen
Stap 3: Bereken het volume V met de formule
\(\displaystyle V = \int_{y=c}^{y=d} \pi \cdot \left(g(y)\right)^2 \;\; dy\)
Bepaal daarvoor eerst de integratiegrenzen c en d (als x loopt van -1 t/m 0, welke waarden kan y dan aannemen?)
Bereken dan de integraal.
Het idee is dat je het omwentelingslichaam kan zien als een stapel ronde schijven (zoals damschijven),
elke schijf met een grondvlak met straal
\(r = |g(y)|\) dus oppervlak
\(A=\pi r^2 = \pi \cdot (g(y))^2\),
en elk met hoogte
\(\Delta y\)
Het volume van een schijf op hoogte y wordt dan gegeven door
\(V_{schijf}= \pi \cdot (g(y))^2 \cdot \Delta y\)
Het gevraagde volume V van het volledige omwentelingslichaam is dan de som van y=c tot y=d van de volumina van al die schijven, waarbij we hoogte
\(\Delta y\) zo klein mogelijk maken = richting nul laten gaan =
\(dy\).
Dat geeft dan bovenstaande integraal.
Hoe ver kom je hiermee?